szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 10:32 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Tarnów
Witam, mam kilka zadań z którymi nie mogę sobie poradzić. Mam znaleźć funkcję odwrotną oraz jej dziedzinę i zbiór wartości:
1.f \left( x \right) = e^{ \frac{x+1}{x} }
2.f \left( x \right) =2+\sin \frac{3x-1}{2}
3.f \left( x \right) =1- \left(  \frac{1}{2}  \right)  ^{x}
Uprzejmie proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 3801
Dlaczego nie możesz sobie poradzić?

Czy usiłowałeś sobie poradzić?

Co to jest funkcja odwrotna do danej funkcji f(x), \ \  x\in D?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Tarnów
Funkcja odwrotna przyporządkowuje wartościom jakiejś funkcji odpowiednie argumenty.
Zaczynam od podstawienia y za f(x) i staram się wyliczyć x, dla obliczonej funkcji odwrotnej określam dziedzinę i zbiór wartości.
W przypadku pierwszym:
y= e^{ \frac{x+1}{x} }
I co dalej? Wykorzystywać exp? Jak postępować po zamianie w kolejnych przypadkach?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 12:27 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
Logarytmujesz obustronnie logarytmem naturalnym i wyliczasz x.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 12:58 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Tarnów
Postąpiłem zgodnie z zaleceniem:
y=e ^{ \frac{x+1}{x} } \\ \ln y = \ln e^{ \frac{x+1}{x} } \\ \ln y =  \frac{x+1}{x} \\ x \cdot \ln y = x+1 \\ x \cdot \ln y -x = 1 \\ x(\ln y-1) =1 \\ x= \frac{1}{\ln y - 1} \\ D=\RR \setminus \{0\}
Jak wyznaczyć zbiór wartości?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 3801
2.
Jaka jest funkcja odwrotna do funkcji \sin ?

3.
Logarytmujemy obustronnie logarytmem przy podstawie \frac{1}{2}.

W 1. źle wyznaczyłeś dziedzinę D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:09 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Tarnów
1. Dziedzina będzie miała postać \RR z wyłączeniem e?
2. Arcsin
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:10 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
borowek napisał(a):
1. Dziedzina będzie miała postać \RR z wyłączeniem e?

Nie.

Zapomniałeś o ograniczeniu ze względu na logarytm.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:19 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Tarnów
Zgadza się!
Logarytm narzuca zbiór (0, + \infty ).
Dziedzina D tego wyrażenia to: D=(0; e)  \cup (e; + \infty).
Mam zagwozdkę, ponieważ odpowiedzi sugerują, że dziedzina to: \RR  \setminus\{ 0\}, natomiast zbiór rozwiązań to D=(0; e)  \cup (e; + \infty).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 3801
2.
Dobrze to funkcja \arcsin.

Wyznacz x w zależności od y.

A później zastanów się nad dziedziną.

-- 15 paź 2018, o 14:27 --
1.
Musisz być pewien (bez zagwozdki), że dziedziną tej funkcji logarytmicznej jest zbiór \RR_{+} z wyłączeniem punktu, w którym zeruje się jej mianownik tj. e.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 13:30 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Tarnów
Jeżeli dziedziną jest D=(0, e) \cup (e, + \infty ), to jak teraz obliczyć zbiór wartości tej funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 3801
Proponuję zapisać wzór funkcji odwrotnej:

f^{-1}(x) = \frac{1}{\ln (x) - 1}

Spoglądamy na wzór funkcji.

Jeśli x \rightarrow 0^{+} to \ln (x) \rightarrow -\infty


f^{-1}(x)= \left [ \frac{1}{-\infty -1}\right] \rightarrow   0.

Jeśli x \rightarrow e^{-} to f^{-1}(x) = \left [\frac{1}{0^{-}}\right] \rightarrow -\infty.

Jeśli x \rightarrow e^{+} to f^{-1}(x) = \left[\frac{1}{0^{+}}\right] \rightarrow  +\infty

Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną o równaniu x = e.

Jeśli x \rightarrow +\infty} to f^{-1}(x)= \left[\frac{1}{+\infty -1}\right] \rightarrow 0.

Zbiorem wartości funkcji jest więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \RR.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Funkcje, dziedzina  qkiz  3
 Zbiór zadań - RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI  Rogal  0
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Zbiór zadań - INNE FUNKCJE  Arek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl