szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Łódź
Witam. Mam problem z dwoma zadaniami z indukcji matematycznej. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc :)

1.

Niech \left( a_n \right)  _{n \in \NN} bedzie ciagiem spelniajacym następujace warunki:
a _{1} =1 ,\\
a _{n}  = 2 a _{n-1} + 1\mbox{ dla }n \ge 2.

 \sqrt{} Wykaz, ze a _{n} = 2 ^{n}-1 dla a _{n}
Krok pierwszy jest dla mnie oczywisty aczkolwiek nie mam żadnego pomysłu na krok drugi ;/


2.

Udowodnij, ze

Dla każdego n  \in \NN mamy \sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{ \sqrt{k} }   \le 2 \sqrt{n} -1.

Tutaj mam problem z rozwiązaniem drugiego kroku indukcyjnego.
Otrzymałam poniższą nierównosć :
\sum_{k=1}^{n+1}  \frac{1}{ \sqrt{k} } -2 \sqrt{n+1} +1= \sum_{k=1}^{n} + \frac{1}{ \sqrt{n+1} }-2 \sqrt{n+1} +1 \le 2 \sqrt{n} -1+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }-2 \sqrt{n+1} +1=2 \sqrt{n}-1+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} }  -2 \sqrt{n+1}   \le ????
Wiadomo że musimy udowodnić że wyrażenie to jest mniejsze lub równe zeru.
Sprowadzane do wspólnego mianownika za dużo mi nie dało :(
Dalej nie mam pomysłu co z tym zrobić ;/

Z góry dziękuję za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 15577
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale zrób coś sama
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Białystok
n=1
2^{1} -1=1
baza indukcji
a_{2} =2*1+1= 2^{2} -1
krok indukcyjny
zakładamy że dla n zachodzi
a _{n} = 2^{n} -1
musimy udowodnić dla n+1
a _{n+1} =2( 2^{n} -1) +1= 2^{n+1} -1
c.n.d.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Łódź
@adminek
A skąd wziąłeś to przekształcenie a_{n+1} =???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 164
adminek napisał(a):
zakładamy że dla każdego n
a _{n} =2 a_{n-1} +1= 2^{n} -1


Zakładasz tezę, czy mi się wydaje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:13 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
adminek napisał(a):
zakładamy że dla każdego n
a _{n} =2 a_{n-1} +1= 2^{n} -1

Jeden z najbardziej klasycznych błędów w dowodach indukcyjnych - właśnie założyłeś tezę zadania, możesz skończyć "dowód"...

Poprawnie:
Ustalasz takie n, że zachodzi
a _{n} =2^{n} -1
i pokazujesz, że wtedy zachodzi także
a _{n+1} =2^{n+1} -1.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Białystok
*baza indukcji
n=2\\
 a_{2} =2 \cdot a_{1} +1= 2^{2} -1\\
 a_{n+1} =2 \cdot a _{n} +1
wziąłem to ze wzoru a_{n} =2 a_{n-1} +1
przepraszam za błędy to mój pierwszy post i troche sie w tym gubie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 164
Jan Kraszewski napisał(a):
i pokazujesz, że wtedy zachodzi także
a _{n+1} =2^{n+1} -1.

JK



Jak to pokazać? Nie bardzo widzę co tutaj można pokazywać, tak na mocy naszego założenia jest i już.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2018, o 21:26 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
adminek napisał(a):
*baza indukcji
n=2\\
 a_{2} =2 \cdot a_{1} +1= 2^{2} -1\\
 a_{n+1} =2 \cdot a _{n} +1
wziąłem to ze wzoru a_{n} =2 a_{n-1} +1
przepraszam za błędy to mój pierwszy post i troche sie w tym gubie

Chyba istotnie trochę się gubisz. W Twoim pierwszym poście rachunki były poprawne (choć trochę zbyt skrótowe), natomiast komentarz był do niczego. Sprawdzanie dla n=2 jest zupełnie zbędne.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwa zadania z indukcji  o5try  4
 Dwa zadania z indukcji - zadanie 2  Jumper1355  2
 (3 zadania) Dowodzenie podzielności - indukcja  pandaboy  19
 (4 zadania) Indukcja  basia  8
 3 zadanka z indukcji  fishman4  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl