szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Funkcja \frac{x}{x ^{2}+1 } jest rosnąca w przedziale [-1,1]. Czyli to znaczy, że mogę zapisać coś takiego -1 \le x _{1}<x _{2} \le 1. Czy jeżeli pokaże, że dla x _{1} \ge -1 oraz 1 \ge x _{2} funkcja ta jest rosnąca, to będzie to oznaczało, że jest ona rosnąca w przedziale [-1,1]?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 3800
Co to jest funkcja rosnąca w zbiorze A \subset X ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 15577
Lokalizacja: Bydgoszcz
camillus25 napisał(a):
Funkcja \frac{x}{x ^{2}+1 } jest rosnąca w przedziale [-1,1].


Czy to masz pokazać, czy to jest dane?
Cytuj:
Czyli to znaczy, że mogę zapisać coś takiego -1 \le x _{1}<x _{2} \le 1.


Coś takiego możesz napisać zawsze, ale jak to się ma do Twojego zadania?
Cytuj:
Czy jeżeli pokaże, że dla x _{1} \ge -1 oraz 1 \ge x _{2} funkcja ta jest rosnąca, to będzie to oznaczało, że jest ona rosnąca w przedziale [-1,1]?


Nie da się pokazać, że funkcja jest rosnąca dla jakiegoś punktu.

Jeżeli masz pokazać, że ta funkcja jest rosnąca, to powinieneś wziąć dwa dowolne punkty -1 \le x _{1}<x _{2} \le 1 i pokazać, że
\frac{x_1}{x _1^{2}+1 }\leq \frac{x_2}{x _2^{2}+1 }

-- 20 paź 2018, o 18:15 --

Nie jest to jedyna możliwość - zadanie można rozwiązać ładnym kruczkiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Taka, że dla x _{2}>x _{1}, gdzie x _{1}, x _{2} \in A mamy f(x _{2})>f(x _{1})?

-- 20 paź 2018, o 19:25 --

a4karo napisał(a):
Jeżeli masz pokazać, że ta funkcja jest rosnąca, to powinieneś wziąć dwa dowolne punkty -1 \le x _{1}<x _{2} \le 1 i pokazać, że
\frac{x_1}{x _1^{2}+1 }\leq \frac{x_2}{x _2^{2}+1 }


Ale czy wtedy nie będę udowadniał tego dla dowolnych dwóch liczb, które mogą nie spełniać monotoniczności? Bo gdybym miał polecenie, żeby sprawdzić, czy ta funkcja jest rosnąca i zrobiłbym to tym sposobem, to przecież powinno mi wyjść, że nie jest, gdyż ona jest zarówno rosnąca, jak i malejąca, czy źle rozumuje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 3800
Nie używając kruczków, pokaż więc prawdziwość implikacji:

\bigwedge_{x_{1}, x_{2}\in \left\langle -1, 1 \right\rangle} \left[  x_{2}>x_{1} \right]  \rightarrow  \left[ f \left( x_{2} \right) > f \left( x_{1} \right)  \right] .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Tylko, że utknąłem w tym momencie i nie wiem jak to uporządkować, żeby było coś widać.

f(x _{2})-f(x _{1})= \frac{x _{2}}{x _{2} ^{2}+1 }-\frac{x _{1}}{x _{1} ^{2}+1 }= \frac{x _{2}(x _{1} ^{2}+1)-x _{1}(x _{2} ^{2}+1)}{(x _{1} ^{2}+1)(x _{2} ^{2}+1)}= \frac{x _{1} ^{2}x _{2}+x _{2}-x _{1}x _{2}^{2}-x _{1} }{(x _{1} ^{2}+1)(x _{2} ^{2}+1)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:43 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
camillus25 napisał(a):
\frac{x _{2}(x _{1} ^{2}+1)-x _{1}(x _{2} ^{2}+1)}{(x _{1} ^{2}+1)(x _{2} ^{2}+1)}= \frac{x _{1} ^{2}x _{2}+x _{2}-x _{1}x _{2}^{2}-1}{(x _{1} ^{2}+1)(x _{2} ^{2}+1)}

No to nie jest poprawne przejście.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Czy chodzi o -1 zamiast x _{1}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 19:11 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
No tak. Popraw i postaraj się wyłączyć w liczniku czynnik (x_2-x_1).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Udało się. Otrzymałem \frac{(x _{2}-x _{1})(1-x _{1}x _{2})}{(x _{1} ^{2}+1)(x _{2} ^{2}+1)}. Czyli to jest większe od zera gdy x \in [-1,1], gdyż wtedy ten czynnik (1-x _{1}x _{2}) jest większy od zera?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 20:20 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
camillus25 napisał(a):
Czyli to jest większe od zera gdy x \in [-1,1], gdyż wtedy ten czynnik (1-x _{1}x _{2}) jest większy od zera?

A jak myślisz?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Według mnie tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 20:23 
Administrator

Posty: 23290
Lokalizacja: Wrocław
Zgadza się, choć dobrze byłoby, gdybyś nie tylko domyślał się tego, ale umiał to sobie uzasadnić.

Ponadto trzeba wspomnieć, że pozostałe trzy nawiasy w tym ilorazie mają wartość dodatnią i dlaczego.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2018, o 20:26 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję Ci bardzo za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl