szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2018, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Kobyłka
Niech (G _{1} ,* ^{1} ) oraz (G _{2} ,* ^{2} ) będą grupami.
Działanie * ^{3} : G _{1}  \times G _{2}  \rightarrow G _{1}  \times G _{2} określone jest jako:
(g _{1} ,g _{2} )* ^{3} (g _{1}' ,g _{2}' ) = ( g _{1} * ^{1}  g _{1}', g _{2} * ^{2} g _{2}')
Gdzie g _{1},  g _{1}'  \in G _{1}  , g _{2},g _{2}'  \in G _{2}
Pokaż że struktura (G _{1}  \times  G _{2}, * ^{3}) jest grupą.
Proszę o pomoc jak to wogóle ruszyć brzmi trochę jak czarna magia przypomina mi się tutaj
homomorfizm ale nie wiem co z tym zrobić.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 paź 2018, o 20:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1684
Lokalizacja: hrubielowo
Jeśli przez x rozumiesz iloczyn kartezjański \times to do sprawdzenia są cztery warunki.

\bullet działanie *^3 musi być wewnętrzne na G_1 \times G_2 czyli innymi słowy zbiór G_1 \times G_2 musi być zamknięty na *^3 i jest tak bo:

\forall  \left[ \left( g_1,g_2\right),(g' _{1} ,g '_{2})  \in G_1 \times G_2\right]  \ \  (g _{1} ,g _{2} )* ^{3} (g '_{1} ,g' _{2} ) = ( g _{1} * ^{1} g' _{1}, g _{2} * ^{2} g '_{2}) \in G_1 \times G_2

A to jest prawdą bo z definicji wiemy że g _{1} * ^{1} g' _{1}\in G_1 oraz g _{2} * ^{2} g '_{2}\in G_2

\bullet Łączność. Wybieramy trzy dowolne elementy G_1 \times G_2 i sprawdzamy czy zachodzi dla nich

\left[ \left( g_1,g'_1\right) *^3\left( g_2,g'_2\right) \right]*^3\left( g_3,g'_3\right)= \left( g_1,g'_1\right) *^3\left[ \left( g_2,g'_2\right)*^3\left( g_3,g'_3\right) \right]

No zachodzi bo łączne są też działania *^1,*^2 więc strona lewa jak i prawa jest równa

\left( g_1*^1g_2*^1g_3,g'_1*^2g'_2*^2g'_3 \right)

Bo nawiasy nie grają roli.

\bullet element neutralny. Wiemy że istnieją elementary neutralne dla grup \left( G_1,*^1\right) oraz \left( G_2,*^2\right) nazwijmy je odpowiednio e_1,e'_1. Wtedy dla dowolnego elementu G_1 \times G_2

\left( g_1,g'_1\right)*^3\left(e_1,e'_1 \right) =\left( g_1*^1e_1,g'_1*^2e'_1\right)=\left( g_1,g'_1\right)

Więc w \left( G_1 \times G_2 , *^3\right) naturalnym elementem jest \left(e_1,e'_1 \right)

\bullet Odwracalność. Dla dowolnie wybranego \left( g_1,g'_1\right)\in G_1 \times G_2 istnieje taki \left( g_1,g'_1\right)^{-1}\in G_1 \times G_2 że

\left( g_1,g'_1\right)*^3\left( g_1,g'_1\right)^{-1}=\left( e_1,e'_1\right)

łatwo taki znaleźć. Można wskazać na \left( g_1,g'_1\right)^{-1}=\left( g_1^{-1},g'_1^{-1}\right) jako że

\left( g_1,g'_1\right)*^3\left( g_1^{-1},g'_1^{-1}\right)=\left(g_1*^1g_1^{-1},g'_1*^2g'_1^{-1}  \right)=\left( e_1,e'_1\right)

Co kończy dowód i potwierdza fakt iż \left( G_1 \times G_2 , *^3\right) jest grupą przy założeniach z treści zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 grupy,ciała  gosia301  3
 rząd grupy izometrii sześcianu  JakubCh  2
 wykazac ze grupy sa izomorficzne  Anka20  0
 Warstwa elementu grupy  nanali  1
 Warstwy grupy względem podgrupy - zadanie 2  Poszukujaca  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl