szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2018, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 5652
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązać układ równań
\begin{cases}(x^2-6x+13)y = 20 \\ (y^2-6y+13)z = 20 \\ (z^2-6z+13)x = 20 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2018, o 23:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2682
Lokalizacja: Warszawa
Niech g(t)=t^2-6t+13. Delta jest ujemna, stąd g jest ściśle dodatnia. Ponieważ g(x), g(y), g(z) są dodatnie, to odpowiednio y, z, x również są dodatnie. Ponadto, wierzchołek paraboli g jest przy t=3, więc g jest ściśle rosnąca na [3,\infty).

Wspomnijmy (późniejsze detale techniczne), że g(2)=g(4)=5, a także jedynie na przedziale (2,4) zachodzi g(t)<5. W miarę rozwoju zadania zauważyłem, że przyda się też: g(3)=4 oraz g(5)=8.

Niech f(t)=t(t^2-6t+13)=t^3-6t^2+13t. Mamy f'(t)=3t^2-12t+13, czego delta jest ujemna, więc f jest ściśle rosnąca na \RR.

Rozpatrzmy tę funkcję na przedziale [0,\infty), bo x, y, z są dodatnie. Zauważmy, że f(0)=0 (w sumie to już było wcześniej wiadomo) oraz f(4)=20.

Układ równań jest cykliczny, więc, dla ustalenia uwagi, niech x będzie największą z naszych zmiennych.

Wówczas wymnażając równania stronami dostajemy f(x)f(y)f(z)=20^3, co w połączeniu z monotonicznością i dodatnimi wartościami f oznacza, że f(x)\ge 20, czyli x \ge 4.

Z pierwszego równania wnioskujemy wtedy, że g(x) \ge g(4)=5, czyli y \le 4. To się okaże później niepotrzebne, ale już zostawiam ;-)

Dalej, z ostatniego równania mamy x \ge 4, czyli g(z)\le 5, a co za tym idzie z \in [2,4]. Miałem tu nadzieję na szybki koniec z użyciem drugiego równania, ale niestety - drugie równanie nic póki co nie wnosi, więc się jeszcze trochę pomęczymy.

Ponieważ z \in [2,4], to g(z) \in [4,5], a stąd z trzeciego równania dostajemy x \in [4,5]. Wracając do pierwszego, mamy wtedy x \in [g(4), g(5)]=[5,8], skąd szczęśliwie dostajemy y \in [\frac{5}{2},4].

Dopiero teraz jesteśmy w stanie użyć równania 2. Bo z tego, że y \in [\frac{5}{2},4] \subset (2,4], wynika utęskniona nierówność g(y)\le 5. Mamy już przecież z \le 4, stąd g(y)z \le 5 \cdot 4 = 20, a musi zachodzić równość, więc jedyna możliwość u nas (g(y), z są dodatnie) to z=4 oraz g(y)=5, co przy założeniu y \in [\frac{5}{2},4] implikuje już y=4.

Szybko dostajemy też x=4 i bezpośrednio sprawdzając upewniamy się, że trójka (x,y,z)=(4,4,4) spełnia warunki zadania - jest więc jedynym rozwiązaniem tego układu równań :-)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Układ równań z 3 niewiadomymi - zadanie 4  sidorio  4
 Układ rownań wielomianowych - zadanie 4  fantek  1
 Trzy sześciany; układ równań  mol_ksiazkowy  3
 Oblicz sprytnie układ równań!  Cody3006  10
 Układ równań z parametrem - zadanie 86  matematykapl  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl