szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lis 2018, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
Rozwiązać równanie : y''+4y=x \sin(2x).

Próbowałam rozwiązywać, ale coś jest nie tak.
Moje działania:

r^{2}+4=0 \\\\
 r_{1}=2i \\
r_{2}=-2i \\\\
 y=c_{1}\cos(2t)+c_{2}\sin(2t) \\\\
 \begin{cases} y_{s}=A\cos(2t)+B\sin(2t) \\ y_{s}'=\cos(2t)-2A\sin(2t)+\sin(2t)+2B\cos(2t) \\ y_{s}''=-\sin(2t)-2\sin(2t)-2A\cos(2t)+2\cos(2t)+2\cos(2t)-4B\sin(2t)\end{cases}\\\\
-\sin(2t)-2\sin(2t)-2A\cos(2t)+2\cos(2t)+2\cos(2t)-4B\sin(2t)+4B\sin(2t)=t\sin(2t)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2018, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6607
A zauważyłaś że Twoją przewidywaną całkę szczególną zjadłaby całka ogólna?

W dodatku błędnie liczysz pochodne.

Przewidujesz:
y_s=t^2(A\sin 2t+B\cos 2t)+t(C\sin 2t+D\cos 2t)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lis 2018, o 21:39 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Kraków
Dlaczego przewiduję t^{2}? Jest jakaś zasada na to?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2018, o 21:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6607
Sorki, tam ma być zmienna t, a nie x.

Ze względu na prawą stronę przewidywanie to:
y_s=t(A\sin 2t+B\cos 2t)+(C\sin 2t+D\cos 2t)
Jednak jego fragment jest całką ogólną. Dlatego wzmacniasz przewidywanie przez pomnożenie go przez t. Stąd:
y_s=t^2(A\sin 2t+B\cos 2t)+t(C\sin 2t+D\cos 2t)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2018, o 12:12 
Użytkownik

Posty: 3773
Metoda z wykorzystaniem quasiwielomianów

Funkcję postaci w(y)e^{\lambda t}, gdzie w jest wielomianem stopnia n nazywamy quasiwielomianem stopnia n o wykładniku \lambda.

Twierdzenie o rozwiązaniach równania liniowego drugiego rzędu

Równanie y'' (x) + ay'(x) +by(x) = w(x)e^{\lambda x}, \ \  a, b = const.

ma rozwiązanie, które jest quasiwielomianem. Jeśli \lambda nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to stopień rozwiązania równy jest stopniowi wielomianu w(x), jeśli \lambda jest pierwiastkiem jednokrotnym, to stopień rozwiązania jest o jeden większy od stopnia w(x), jeśli \lambda jest pierwiastkiem dwukrotnym, to stopień rozwiązania jest o dwa większy od stopnia w(x).

Twierdzenie to bez trudu można uogólnić na równania wyższego rzędu o stałych współczynnikach, których prawa strona jest quasiwielomianem w(x)e^{\lambda x}.

Stopień rozwiązania szczególnego jest większy od stopnia w(x) o krotność \lambda jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego lewej strony równania.


y''(x) +4y = x\sin(2x)  \ \   (1)

Prawa strona równania nie jest quasiwielomianem, ale x\sin(2x) = \Im( xe^{i 2x}).

Równanie charakterystyczne \lambda^2 + 4 =0 ma dwa pierwiastki \lambda_{1}= -2i, \ \ \lambda_{2} = 2i.

Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest funkcja C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x).

Wobec powyższego twierdzenia, rozwiązaniem szczególnym równania (1) jest wielomian stopnia drugiego.

Powinien więc być spełniony warunek:

xe^{i 2x} = (Ax^2 +Bx +C)e^{2i x})^{''} + 4( Ax^2 +Bx +C) e^{2i x}

Stąd

xe^{i 2x}= \left[(Ax^2 +Bx + C) e^{i 2x}\right]^{''}+4( Ax^2 +Bx + C)e^{i 2x}=\left[(2Ax +B)e^{i 2x} +2(Ax^2 +Bx + C) i e^{i 2x}\right]' + 4( Ax^2 +Bx + C)e^{i 2x}

xe^{i2x}= \left[2A e^{i2x}+2(2A x+B)ie^{i 2x}+2i(2A x+ B)e^{i 2x}+4(Ax^2+Bx +C) i^2 e^{i 2x}\right]+4(Ax^2+Bx+C)e^{i 2x}=2A e^{i 2 x}+4 A i xe^{i 2 x}+4A i xe^{i 2x}+2Bie^{i 2x}-4(Ax^2+Bx +C)e^{i2 x}+4(Ax^2 +B x +C)e^{i 2x}=(2A + 2B i)e^{i 2x}+8 Aix e^{i 2x}

Porównując współczynniki prawej i lewej strony równania, otrzymujemy:

8A i = 1, \ \ A = \frac{1}{8i} = -\frac{1}{8}i

2A + 2 B i = -\frac{1}{4}i +2B i = 0, \ \ 2B i = \frac{1}{4}i, \ \ B = \frac{1}{8}.

C może być dowolną liczbą zespoloną, w szczególności zero.

Rozwiązanie ogólne równania:

y(x)=  \Im \left[ \left( -\frac{1}{8}i x^2 +\frac{1}{8}x \right)\left( \cos(2x)+i\sin(2x)\right)\right] + C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)= -\frac{1}{8}x^2 \cos(2x)+\frac{1}{8}x\sin(2x)+ C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x).

Z powyższą metodą zapoznałem się dzięki Panu dr. Michałowi Krychowi z Uniwersytetu Warszawskiego, za co mu dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązać równanie - zadanie 4  dejna  0
 rozwiązać równanie - zadanie 78  lukaszs  5
 Rozwiązać równanie - zadanie 104  SnakeCaspi  1
 Rozwiązać równanie - zadanie 166  Miszel1234  3
 rozwiązać równanie - zadanie 188  zoik1989  4
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl