szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 lis 2018, o 01:07 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Olsztyn
Niech f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, gdzie \mathbb{N} jest zbiorem liczb naturalnych (począwszy od zera), będzie funkcją taką, że f(2n)=f(2n+1)=n dla każdego n\in\mathbb{N}. Dla dowolnego naturalnego k>0 oznaczmy przez f^k(n) liczbę f(f(...f(n)...)), gdzie symbol f występuje k razy. Ile rozwiązań ma równanie f^{2013}(n)=1?
Proszę o jakaś wskazówkę :wink:
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 lis 2018, o 01:24 
Użytkownik

Posty: 12855
Mamy f^k(2^k n+i)=n dla k\in \NN^+, \ i=0, 1, \ldots 2^{k}-1
To udowadniasz indukcją po k przy ustalonym n, dalej trywialnie.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 lis 2018, o 18:37 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Olsztyn
Mam pytanie do tego zadania czy f(2n)=f(2n+1)=n znaczy, że cokolwiek wstawie tu f(n+{cos}) to zawsze bedzię się równało n?(dlatego, że funkcja jest okresowa?) Czyli np. f(n)=n?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2018, o 21:35 
Użytkownik

Posty: 15561
Lokalizacja: Bydgoszcz
No nie.

Policz sobie po kolei f(2), f(3), f(4), f(5),... to zobaczysz co to za funkcja
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 lis 2018, o 23:15 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Olsztyn
Hmm...
Przykładowo, gdy mam f(4) to 2n=4=>n=2 czyli spełnia 2n+1=4=>2n=3=>n=\frac{3}{2}\not\in \mathbb{N}
Czyli gdy argument funkcji jest parzysty to będzie postać 2n, gdy argument nieparzysty to będzie postać 2n+1
Dla f(0)=1, f(1)=0, f(2)=1, f(3)=1, f(4)=2, f(5)=2, f(6)=3, f(7)=3, f(8)=4, f(9)=4, f(10)=5, f(11)=5,f(12)=6,f(13)=6,f(14)=7,f(15)=7,f(16)=8,f(17)=8,f(18)=9,f(19)=9,f(20)=10...
Dla f(20)=10, f(10)=5, f(5)=2, f(2)=1 , f(1)=0
Czyli na przykładzie arugmentu równego 20.
f^1(20)=10\\f^2(20)=5\\f^3(20)=2\\f^4(20)=1\\f^5(20)=0\\f^5(20)=f(f(f(f(f(20)))))=0
Teraz jakbym za 20 przyjął x
f^1(x)=\frac{x}{2}\\f^2(x)=\frac{x}{4}\\f^3(x)=\frac{x}{10}\\f^4(x)=\frac{x}{20}\\f^5(x)=?\\f^5(x)=f(f(f(f(f(x)))))=0
Skomplikowane zadanie i na dodatek coś chyba pokręciłem i nie widzę zależności :(
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 lis 2018, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 12855
Ta funkcja to część całkowita z połowy liczby. Zależność jest taka, jak pisałem (choć nie wykluczam, że można to ująć znacznie prościej i klarowniej).
Oto wspomniany dowód indukcyjny (miałem nadzieję, że starczyła wskazówka i sam już to ogarnąłeś):
f^k(2^k n+i)=n dla k\in \NN^+, \ i=0, 1, \ldots 2^{k}-1

1^{\circ} \ f^1(2^1 n+i)=f(2n+i)=n dla i\in\left\{ 0,1\right\} – to wynika z samej definicji funkcji f.

2^{\circ} Przypuśćmy, że dla pewnego k\in \NN^+ i wszystkich n\in \NN, \ i\in 0,1\ldots 2^k-1 zachodzi
f^k(2^k n+i)=n. Niech teraz j\in 0,1\ldots 2^{k+1}-1, uzasadnimy, że
f^{k+1}(2^{k+1}n+j)=n
Z łączności składania funkcji mamy
f^{k+1}(2^{k+1}n+j)=f^k\left( f(2^{k+1}n+j)\right)
i teraz jeśli j=2i dla pewnego i\in \NN, jak i jeśli j=2i+1 dla pewnego i\in \NN, to z definicji f mamy
f(2^{k+1}n+j)=2^k n+i
i zauważmy, że skoro j\in \left\{ 0,1 \ldots 2^{k+1}-1\right\}, to
w przypadku j nieparzystego mamy
j=2i+1\le 2^{k+1}-1, czyli i\le 2^{k}-1,
zaś w przypadku j parzystego otrzymamy
j=2i\le 2^{k+1}-2, tj. ponownie i\le 2^k-1.
Wobec tego
f^{k+1}(2^{k+1}n+j)=f^k(f(2^{k+1}n+j))=f^k(2^kn+i)
dla pewnego i\in\left\{ 0,\ldots 2^k-1\right\}
i korzystając teraz z założenia indukcyjnego, dostajemy
f^{k+1}(2^{k+1}n+j)=n,
co kończy krok indukcyjny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl