szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2018, o 22:35 
Użytkownik

Posty: 178
Lokalizacja: Polska
{n \choose k} + {n \choose k + 1} =  {n +1 \choose k + 1}
Taki dowód za pomocą indukcji przeprowadzamy dla n czy dla n i k ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 lis 2018, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 12888
Jakoś pod koniec kwietnia 2007 roku, gdy byłem w kościele, ksiądz zapowiedział, że odczyta list biskupów polskich. Wtem rozległ się zachrypnięty od alkoholu głos:
– A po co to czytać?
Pewien parafianin w szarej kurtce, autor tychże słów, wyszedł demonstracyjnie z budynku.

Ja zadam pokrewne pytanie: a po co to dowodzić indukcyjnie?

Ale jeśli już koniecznie chcesz, to proponuję ustalić k\in \NN i przeprowadzać indukcję po n\ge k+1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2018, o 22:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18433
Lokalizacja: Cieszyn
Ładny dowód można podać w oparciu o wzór dwumianowy Newtona.

\binom{n}{k} to współczynnik przy x^k w rozwinięciu (1+x)^n.

\binom{n}{k+1} to współczynnik przy x^{k+1} w rozwinięciu (1+x)^n.

\binom{n+1}{k+1} to współczynnik przy x^{k+1} w rozwinięciu (1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x).

Ale

(1+x)^n(1+x)=\left(\dots+\binom{n}{k}x^k+\binom{n}{k+1}x^{k+1}+\dots\right)(1+x)

Potęgę x^{k+1} dostajemy tu z działania \binom{n}{k+1} x^{k+1}\cdot 1+\binom{n}{k}x^k\cdot x. Dlatego właśnie zachodzi wspomniany wzór.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2018, o 07:15 
Użytkownik

Posty: 15577
Lokalizacja: Bydgoszcz
A dla mnie dużo łądniejszy jest dowód kombinatoryczny: Przypuśćmy, że mamy n kul czerwonych i jedną niebieską: na ile sposobów można z nich wybrać k+1 kul?


Możemy wybrać albo k+1 czerwonych (na \binom{n}{k+1} albo k czerwonych i jedną niebieską (na \binom{n}{k} sposobów).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2018, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 178
Lokalizacja: Polska
a4karo, Skąd taki pomysł ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lis 2018, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 15577
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z kombinatorycznej interpretacji wzoru dwumiennego: \binom{n}{k} to ilość sposobów na wybranie zbioru k-elementowego ze zbioru n-elementowego
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód indukcyjny - zadanie 50  tukanik  3
 dowód indukcyjny - zadanie 48  tukanik  4
 Dowód indukcyjny - zadanie 66  dyskretny123  3
 Dowód indukcyjny - zadanie 43  olek1990  2
 dowód indukcyjny - zadanie 22  NiesubordynowanaMysz  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl