szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2018, o 15:36 
Użytkownik

Posty: 134
Lokalizacja: Krakow
Witam. Proszę wyjaśnić jak wykazać poniższą nierówność:

\frac{\tg(x)}{x} <  \frac{\tg(y)}{y} , dla 0 < x < y <  \frac{ \pi }{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2018, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 12935
Można po prostu obliczyć pochodną funkcji
f(t)=\frac{\tg t}{t}, która wynosi
\frac{ \frac{t}{\cos^2 t}-\tg t }{t^2}= \frac{1-\frac{\sin t\cos t}{t}}{t\cos^2 t}
i skorzystać ze znanych nierówności w pierwszej ćwiartce:
\sin t<t\\ \cos t<1
by wywnioskować, że
1>\frac{\sin t\cos t}{t} dla t\in \left( 0, \frac \pi 2\right).
Zatem w pierwszej ćwiartce pochodna jest dodatnia, wobec tego w pierwszej ćwiartce funkcja
\frac{\tg t}{t} jest rosnąca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2018, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 134
Lokalizacja: Krakow
Premislav, Dziękuję za wyjaśnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2018, o 16:29 
Użytkownik

Posty: 15652
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tangens jest funkcją wypukła, więc jej iloraz różnicowy rośnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać nierówność. - zadanie 2  pawlo392  3
 Wykazać nierówność.  Hania_87  2
 Wykazac nierownosc.  lenkaja  2
 Nierówność miedzy srednimi  _el_doopa  6
 Pochodna kierunkowa - wykazać, że ...  Undre  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl