szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2018, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 2087
Lokalizacja: Kraków
Czy funkcja \frac{z}{1+z^2} ma funkcję pierwotną w a) \CC  \setminus \left\{ i,-i\right\}?

Wiem, że funkcja zespolona ma funkcję pierwotną wtedy i tylko wtedy gdy jej całka nie zależy od drogi, ale jak to tu wykorzystać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2018, o 15:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1904
Lokalizacja: hrubielowo
Można by policzyć na przykład \int_{\gamma}^{}\frac{z}{1+z^2} \mbox{d}z gdzie \gamma to okrąg o promieniu 1 otaczający i skoro zerowanie się całki ma zachodzić dla każdej drogi to dla takiej też powinno. Tw. o residuach się sprawdzi ale jeśli go nie miałeś to równie dobrze można tw Cauchego to policzyć albo w ogóle zwykłą parametryzacją wtedy

\int_{\gamma}^{}\frac{z}{1+z^2} \mbox{d}z=2 \pi i\text{Res} \left( f(z),i\right)=2 \pi i \cdot  \frac{i}{2i} \neq 0

więc funkcja nie ma pierwotnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2018, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 2087
Lokalizacja: Kraków
Co oznacza 2 \pi i\text{Res} \left( f(z),i\right)? Nie znam takiego zapisu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2018, o 20:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1904
Lokalizacja: hrubielowo
Oznacza residuum funkcji f w punkcie i skorzystałem tu z twierdzenie o residuach, pozwala policzyć tą całkę w zgrabny sposób ale podałem też dwie inne alternatywy liczenia tej całki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2018, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 2087
Lokalizacja: Kraków
Aha ok. A tą zwykłą parametryzacją to jak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2018, o 21:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1904
Lokalizacja: hrubielowo
Podstawiasz z(t)=i+e^{it} do całki i liczysz całkę oznaczoną po t\in\left[ 0,2 \pi \right]
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja holomorficzna.  Anonymous  1
 pOchodna zespolona i funkcja analityczna  ewelina2461  2
 Pokazać, że funkcja jest holomorficzna  KasienkaG  2
 Funkcje analityczne - wątpliwości  Wojtolino  1
 Sprawdzić czy funkcja jest analityczna  Poszukujaca  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl