szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2018, o 00:48 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej:
\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2}   \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1}  > 1
Czy mogę tutaj nierówność zamienić na postać \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2}   \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1} = 1 + a, a \in (0,+ \infty ) i dalej przeprowadzić dowód?
Wtedy powyższa linijka jest założeniem, a \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3}   \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1}+\frac{1}{3n + 2}+\frac{1}{3n + 3}+\frac{1}{3n + 4} = 1 + b, b \in (0,+ \infty ) tezą.
Teraz sprawdzam czy równość zachodzi dla n = 1(P), a następnie z założenia biorę a + 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3}   \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1}, zamieniam ten fragment z odpowiednim w tezie i otrzymuję :
a + 1 + \frac{1}{3n + 2}+\frac{1}{3n + 3}+\frac{1}{3n + 4} - \frac{1}{n + 1} = b + 1, z czego wynika, że b >0, czyli dowód został przeprowadzony?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2018, o 01:04 
Administrator

Posty: 24199
Lokalizacja: Wrocław
Pomijając już wątpliwą strukturę tego dowodu, to jak wynika, że b>0?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2018, o 01:13 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Jak sprowadzę ilorazy z ostatniej linijki do wspólnego mianownika to otrzymuję wartość większą od 0, a co do a - to z założenia jest większe od 0. Czyli taki dowód nie przejdzie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2018, o 01:15 
Administrator

Posty: 24199
Lokalizacja: Wrocław
Jak to zrobisz i pokażesz, to może przejdzie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lis 2018, o 01:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Jak sprowadzę ilorazy z ostatniej linijki do wspólnego mianownika to otrzymuję wartość większą od 0

To jest własnie kluczowy element kroku indukcyjnego i to należałoby zrobić. Potrzebna nierówność
\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}>\frac{1}{n+1}
dla n\in \NN^+ wynika też bezpośrednio z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla trzech składników.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy ten dowód jest poprawny?  mint18  3
 Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.  hUmanitO  8
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 Dowód indykcyjny permutacji bez powtózeń  noiprox  3
 Dowod indukcyhjny nierownosci.  pavlo4  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl