szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 gru 2018, o 09:31 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
Po wyłączeniu silnika łódź zwalnia po działaniem oporu wody, który jest proporcjonalny do prędkości łodzi. Początkowa prędkość łodzi V _{0} =2\frac{m}{s} , a po 4 sekundach jej prędkość wynosiła 1 \frac{m}{s}. Po jakim czasie łódź będzie miała prędkość 0,25 \frac{m}{s} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2018, o 15:53 
Użytkownik

Posty: 4012
Analiza zadania

Opór wody jest proporcjonalny do prędkości łodzi.

Na płynącą łódź działa siła:

F = -k\cdot x \ \ (1)

gdzie:

k - współczynnik proporcjonalności.

Według Prawa Newtona siła ta jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia

F = m\cdot \frac{dv}{dt} \ \ (2)

Biorąc pod uwagę równania (1), (2) możemy zapisać równanie różniczkowe ruchu łodzi w postaci:

m\cdot \frac{dv}{dt} = -k\cdot v \ \  (3)

Rozwiązanie

Równanie (3) jest równaniem o zmiennych rozdzielających.

Rozdzielając zmienne, otrzymujemy:

\frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.

Po scałkowaniu

\ln(v) = -\frac{k}{m}t + A

Ogólne rozwiązanie równania (3)

v(t) = e^{-\frac{k}{m}t +A}= e^{A}\cdot e^{-\frac{k}{m}t}= Ce^{-\frac{k}{m}t}, \ \ C = e^{A}.

Uwzględniając warunek początkowy: v(0) = 2\frac{m}{s} mamy:

2 = C\cdot e^{-\frac{k}{m}\cdot 0} \ \ C = 2.

Wówczas

v(t) = 2e^{-\frac{k}{m}t}

Z warunku dodatkowego, że po 4 sekundach prędkość łodzi wynosiła v(4) = 1\frac{m}{s}

1 = 2e^{-\frac{k}{m}\cdot 4}, \ \ e^{-\frac{k}{m}4} = \frac{1}{2} \ \ e^{-\frac{k}{m}}= \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}.

Łódż będzie miała prędkość równą 0,25 = \frac{1}{4}\frac{m}{s} po czasie:

\frac{1}{4} = 2\left[ \left( \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}\right]^{t}

\left(\frac{1}{2}\right)^{3}  = \left(\frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{4}t}

\frac{1}{4}t =3, \ \ t =12 s.

Łódź będzie miała prędkość 0,25 \frac{m}{s} po 12 sekundach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2018, o 00:56 
Użytkownik

Posty: 5988
Lokalizacja: Staszów
Czwarte równanie
\frac{dv}{v} = -\frac{k}{m}dt.

łatwo jest też otrzymać z równania popędu masy:

m dv = - Fdt, gdzie z racji proporcjonalności: F=v \cdot k



i dalej tak, jak pokazał to pan Janusz47
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie klepsydry...  Anonymous  0
 Równanie toru ciała-Elipsa.  Jestemfajny  1
 prawa, stałe fizyczne z dynamiki  bobpoleon  0
 Równanie ruchu  lled3  5
 Kinematyka- nietypowe równanie drogi  Nixur  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl