szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2018, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Wietrzychowice
Witam, mam do rozwiązania następujący problem:
Do zbiornika w kształcie ostrosłupa prawidłowego ściętego wlewana jest woda z prędkością 3l/s.
Wymiary zbiornika:
Podstawa większa bok =1[m]
Podstawa mniejsza bok =0.5[m]
Wysokość zbiornika =1[m]

W dnie zbiornika wywiercono otwór o powierzchni 3cm^{2}

Po jakim czasie zbiornik zostanie napełniony?

Do rozwiązania zadania należy napisać równanie różniczkowe i je rozwiązać.
Częściowo zadanie zrobiłem tylko nie wiem na ile to jest dobrze, bo nie potrafię określić szybkości zmiany wysokości w związku ze zmniejszającą się ze wzrostem wysokości powierzchnią podstawy, co prawdopodobnie wpłynie na szybkość zmiany tej wysokości.

Co wyznaczyłem:
Dane:
V_{obj} - objętość naczynia
S_{out} - pole otworu, przez który wypływa woda
S_{in} - pole podstawy mniejszej potrzebne do określenia szybkości wpływania
v,\ v_{in},\ v_{out} - szybkość przepływu cieczy, szybkość wpływania, szybkość wypływania
Q - strumień objętościowy, jak wyżej szybkość, może być wejściowy (in), wyjściowy (out), całkowity (c)
h - wysokość poziomu cieczy

Z równania Bernouliego:

dv_{out}=\sqrt{v_{in}^{2}+2g\ dh}

Równanie na strumień:

dQ=dv\cdot S

Z tego:

v_{in}= \frac{Q_{in}}{S_{in}} 
\\dQ_{out}=dv_{out} \cdot S_{out}
\\dQ_{c}= \frac{dV_{obj}}{dt} 
\\dt =  \frac{dV_{obj}}{dQ_{c}} 
\\Q_{c}=Q_{in}-Q_{out}

Czyli podsumowując:

dt= \frac{V_{obj}}{Q_{in} - S \cdot  \sqrt{v_{in}^{2}+2g \cdot h_{1}'}}

I tu kończą się moje możliwości i wiedza.
Proszę o pomoc. Dokładniej sprawdzenie czy jest to poprawne i jeżeli nie, to wskazanie błędów i pomoc w rozwiązaniu ich.

Pozdrawiam,
TheBiGSTACH
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2018, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 4019
Rysunek ostrosłupa ściętego.

Oznaczenia :

v(t) = 3 \frac{l}{s}= 3\cdot 10^{-3}\frac{m^3}{s} - prędkość wpływu wody do zbiornika

H - wysokość zbiornika

a_{1} = 1 m - długość dłuższego boku podstawy zbiornika

b_{1} = 0,5 m - długość krótszego boku podstawy zbiornika

F_{1} = 3 cm^2 = 3\cdot 10^{-4} m^2 - powierzchnia wywierconego otworu w dnie zbiornika.

F_{2} \ \  m^2 - górna powierzchnia wody w zbiorniku.

h = h(t) - wysokość powierzchni wlewanej do zbiornika wody liczona od dna zbiornika.

Na podstawie teorii przepływu cieczy i równania Bernoulliego:

F_{2}\cdot v_{2} =  F_{1}\cdot v_{1} \ \ (1)

F_{2}= a_{2}\cdot b_{2} = a_{1}\cdot b_{1} \cdot \left(\frac{h(t)}{H}\right)^2 = \frac{a_{1}\cdot b_{1}}{H^2}\cdot  h^2(t) = \gamma \cdot h^2(t)\ \ (2)

gdzie \gamma = \frac{a\cdot b}{H^2} - stała zależna od rozmiarów zbiornika.

v_{2} = h'(t), \ \  v_{1} =  \mu \sqrt{v^2 + 2g\cdot h}, \ \  (3)


\mu=0,62 współczynnik wypływu - dla wody \mu =0,62

Podstawiamy (2), (3) do (1):

\gamma \cdot h^2(t) \cdot h'(t) = \mu\sqrt{v^2 +2\cdot g\cdot  h}\cdot F_{1} \ \ (4)

Warunek początkowy: (t_{0},  h_{0})  = (0,  0)

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe o rozdzielających się zmiennych:

Rozdzielamy zmienne:

\frac{h^2(t) \cdot h^{'}(t)}{\mu \sqrt{ v^2 + 2g\cdot h(t)}} = \eta \ \ (4)

gdzie: \eta = \frac{F_{1}}{\gamma} \ \ [m^2] - stała zależna od rozmiaru pojemnika i wielkości wydrążonego w jego dnie otworu.

Całkujemy obustronnie równanie (4):

\int \frac{h^2(t) \cdot h^{'}(t)dt }{\mu\sqrt{v^2 + 2g\cdot h(t)}} = \int \eta dt

\int \frac{h^2dh }{\mu \sqrt{v^2 + 2g\cdot h}} = \int \eta dt

Stosujemy podstawienia:

\sqrt{v^2 + 2g\cdot h} = s, \ \ h = \frac{s^2-v^2}{2g},\ \  dh =\frac{s}{g}ds.

Mamy:

\frac{1}{4g^3 \cdot \mu}\int (s^2 -v^2)^2 ds = \eta \cdot t + C

Proszę obliczyć tą całkę.

Z warunków początkowych wyznaczamy stałą C .

Dla h(t) = H - otrzymamy całkowity czas napełniania zbiornika:

Przyjmujemy g =  10\frac{m}{s^2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rownanie stycznej oraz ciagi  karolka  2
 Dla jakiego k dane równanie ma 3 rozwiązania?  Anonymous  1
 Równanie z pochodnymi wyższych rzędów  Anonymous  2
 Równanie różniczkowe - zadanie 2  Undre  1
 Dwa równania różniczkowe  tomasz rakoczy  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl