szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Potęga pi
PostNapisane: 19 gru 2018, o 14:29 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Wrocław
Hejka, mam takie pytanie. Czy istnieje takie k \in \ZZ różne od 0, że \pi  ^{k} \in \QQ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Potęga pi
PostNapisane: 19 gru 2018, o 14:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
No jasne, np. k=\log_{\pi} 2. Ale może nie o to chodziło, bo to trochę zbyt banalne się wydaje.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Potęga pi
PostNapisane: 19 gru 2018, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Wrocław
Masz racje, pomyliłem \RR z \ZZ
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Potęga pi
PostNapisane: 19 gru 2018, o 15:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Odpowiedź jest negatywna, gdyż liczba \pi jest przestępna, ale nie umiem tego udowodnić.
To jest konsekwencją twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Potęga pi
PostNapisane: 28 gru 2018, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 812
Lokalizacja: Polska
Tw. Lindemanna-Weierstrassa mówi:

Jeśli układ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n jest liniowo niezależny nad \mathbb Q (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych a_1, a_2, ..., a_n, takich że a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0), to układ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n} jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \mathbb Q, czyli przestępne.


W szczególności, gdy \alpha \neq 0 jest algebraiczne, e^\alpha jest przestępne
Stąd otrzymujemy, że ponieważ e^{i \pi} = -1 daje wynik algebraiczny, to wykładnik nie może być algebraiczny, zatem \pi i jest przestępne, a ponieważ iloczyn liczby algebraicznej i przestępnej jest przestępny, to również \pi jest przestępne

Jeśli szukasz elementarnego rozwiązania, to go nie znajdziesz ._.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Potęga pi
PostNapisane: 10 sty 2019, o 22:16 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8091
Lokalizacja: Wrocław
PoweredDragon napisał(a):
Jeśli układ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n jest liniowo niezależny nad \mathbb Q (czyli nie istnieje układ niezerowych liczb wymiernych a_1, a_2, ..., a_n, takich że a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2+...+a_n \alpha_n = 0), to układ e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, ..., e^{\alpha_n} jest algebraicznie niezależny (nie przytoczę tu przydługiej definicji, nawet na wiki jest poprawna) nad \mathbb Q, czyli przestępne.
Definicja algebraicznej niezależności jest tak samo długa jak definicja liniowej niezależności:

Układ a_1, \ldots a_n elementów ciała L jest algebraicznie niezależny nad podciałem K \subseteq L, jeśli nie istnieje niezerowy wielomian p \in K[X_1, \ldots, X_n], taki że p(a_1, \ldots, a_n) = 0.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Potęga pi
PostNapisane: 10 sty 2019, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 812
Lokalizacja: Polska
Nie wiem czemu ucięty jest fragment. Miało być "czyli w szczególności dla singletonów liczb algebraicznych \left\{ \alpha\right\}, e^{\alpha} jest przestępne"
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Permutacja - potęga  Anonymous  1
 Szósta potęga liczby  Wiesiek7  1
 Potęga liczby całkowitej  Swider  2
 ciekawa potega. wykaz ze:  mol_ksiazkowy  2
 potęga liczby - zadanie 2  nogiln  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl