szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2018, o 16:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 70
Lokalizacja: Olsztyn
1.Udowodnij, że 3^{2n+1}+2^{n+2} jest podzielne przez 7 dla n\in\mathbb{N}
2.Udowodnij, że 4^{2^n}+2^{2^n}+1 jest podzielne przez 7 dla n\in\mathbb{N}
Proszę o jakaś wskazówkę :wink:
(mała edycja drugiego pytania)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2018, o 16:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Oba przykłady można załatwić indukcją matematyczną.
Można też z kongruencji: np.
3^{2n+1}=3\cdot 9^n
i 9\equiv 2\pmod{7}\\ 9^n\equiv 2^n\pmod{7},
i dalej łatwo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2018, o 16:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 70
Lokalizacja: Olsztyn
Premislav napisał(a):
Oba przykłady można załatwić indukcją matematyczną.
Można też z kongruencji: np.
3^{2n+1}=3\cdot 9^n
i 9\equiv 2\pmod{7}\\ 9^n\equiv 2^n\pmod{7},
i dalej łatwo.

Spróbuje z kongruencji właściwie o takie rozwiązanie mi chodziło od indukcji matematycznej wole się trzymać z daleko bo już kiedyś próbowałem ponad 2 godz i mi nie wyszło :P

-- 20 gru 2018, o 20:54 --

Udowodnij, że 3^{2n+1}+2^{n+2} jest podzielne przez 7 dla n\in\mathbb{N}
3^2\equiv2\bmod7\\3^{2n}\equiv2^n\bmod7\\3^{2n}\cdot3=3^{2n+1}\equiv2^n\cdot3\bmod7\\3^{2n+1}+{\red 2^{n+2}}\equiv2^n\cdot3+{\red 2^{n+2}}=7\cdot2^n\equiv0\bmod7
co należało dowieść
Z tym drugim się meczę ale nie mam pomysłu na kongruencje :cry:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2018, o 20:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Pierwsze rozwiązałeś poprawnie.

Czy drugie na pewno jest dobrze przepisane? Nie wydaje mi się, wszak 4^3\equiv 1\pmod{7} i stąd 4^{3n} \equiv 1\pmod{7} dla dowolnego n\in \NN^+, stąd natychmiast widać, że dla n podzielnych przez trzy wyrażenie
(4^2)^n+(2^2)^n+1
nie dzieli się przez 7.

-- 20 gru 2018, o 20:53 --

dobra, w drugim miało być
4^{2^n}+2^{2^n}+1, zauważ, że
4^{3k}\equiv 1\pmod{7} i jedna z liczb 2^n-1, \ 2^n-2 jest podzielna przez 3, dalej nie powinno być wielkich problemów
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij, że liczba jest podzielna  moonni  2
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl