szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2018, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Polska
Stosując wzór na dwumian Newtona udowodnij, że szereg Taylora funkcji f(x)=(1+x)^n dla n dowolnego naturalnie jest do niej zbieżny w każdym punkcie x, jeśli x _{0} =0 (tj. suma \sum_{ i=0}^{ \infty }  \frac{f ^{(n)} (x _{0})  }{n!}(x-x _{0})^n dla dowolnego x i x _{0} =0 jest równa f=(x)) Następnie trzeba udowodnić, że:

(1+x)^n \ge 1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^2 o ile x \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2018, o 20:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Znasz wzór dwumianowy Newtona? Jeśli tak, to zastosuj, jeśli nie, to poznaj.
Po zastosowaniu tego wzoru skorzystaj z jednoznaczności rozwinięcia w szereg Taylora wokół ustalonego punktu.

Drugą część możesz załatwić indukcją po n\in \NN^+ przy ustalonym x\ge 0, a możesz też oddzielnie sprawdzić przypadek n=1, a następnie dla n\ge 2 rozwinąć (1+x)^n ze wzoru dwumianowego i zauważyć, że pojawi się tam fragment 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2, a pozostają najwyżej jakieś nieujemne wyrazy po lewej.
Można też normalnie zastosować wzór Taylora z resztą np. w postaci Lagrange'a i uzasadnić nieujemność reszty, ale przy funkcji wielomianowej to trochę przesada.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2018, o 20:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1882
Lokalizacja: hrubielowo
Zwróć uwagę na zapis i sposób w jaki to piszesz bo robisz to niechlujnie. Sam sobie utrudniasz życie takimi napisami:
Cytuj:
\sum_{ i=0}^{ \infty } \frac{f ^{(n)} (x _{0}) }{n!}(x-x _{0})^n
Niech f(x)=\left( 1+x\right)^n dla pewnego ustalonego n\in\NN. Zauważmy że dla naturalnych k \le n mamy:

f^{\left( k\right) }(x)=n(n-1)(n-2) \cdot ... \cdot \left( n-k+1\right)(1+x)^{n-k}

stąd

f^{\left( k\right) }(0)=n(n-1)(n-2) \cdot ... \cdot \left( n-k+1\right)

A dla k>n zachodzi f^{\left( k\right) }=0 więc wzór Taylora "ucina" się na n co daje

f(x)= \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)(n-2) \cdot ... \cdot \left( n-k+1\right)}{k!}x^k=\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}x^k=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^k

teraz zastosuj wzór.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność szeregu Taylora - zadanie 2  davids12  0
 Zbieżność szeregu Taylora  Mruczek  3
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 Stosując wzór Taylora...  Pulson  1
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl