szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2018, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Polska
Ja już dzisiaj chyba nie myślę, bo natknąłem się na takie zadanie:
Pokazać, że dla dowolnych liczb a,b,c z przedziału \left[0,1\right]: a ^{3}+b^{3}+c^{3} \le 3 + a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a. I moje rozwiązanie to:
a \le 1  \Rightarrow a^3 \le 1 i tak dla pozostałych literek i dodać nierównośći stronami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2018, o 22:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
No to bardzo dobre rozwiązanie, a nierówność faktycznie dziwnie trywialna (o ile w ogóle dobrze przepisana).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2018, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Polska
Dobrze
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2018, o 14:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2688
Lokalizacja: Warszawa
Jak podwoisz lewą stronę zadanie będzie znacznie ciekawsze (źródło: KMDO p. Pawłowskiego, strona nr 239, zadanie 5.).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2018, o 15:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Wtedy też łatwe. Lemat:
a^3+b^3\le 1+a^2b
dla a,b\in [0,1]
Dowód lematu: przy założeniach zadania mamy
\min\left\{ a^3, b^3\right\}\le a^2 b
oraz
\max\left\{ a^3, b^3\right\} \le 1
i dodać stronami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 18:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
a co powiesz Pszemku na nieco silniejszą (choć wciąż niezbyt trudną) nierówność? (założenia oczywiście takie same)
2(a^2+b^2+c^2) \le 3+a^2b+b^2c+c^2a
Twój cwany trik z \max i \min tutaj nie przejdzie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 20:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Zauważmy, że a^2\le 1+b, gdyż a,b\in [0,1], więc
a^2(1-b)\le (1+b)(1-b)=1-b^2
(dla b=1 też działa, bo po obu stronach są zera).
Równoważnie:
a^2+b^2\le 1+a^2b
Podobnie dla pozostałych par zmiennych, dodajemy stronami i koniec.

Ale przyznam, że to już mnie chwilę przymusiło do zastanowienia, nie jestem dobry w takich rzeczach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 15837
Lokalizacja: Bydgoszcz
No to tak:
a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)\leq 3+a^2b+b^2c+c^2a
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 20:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Lemat:
dla dowolnych a,b\in [0,1] zachodzi nierówność
(1-a^2)(1-b)\ge 0
Chyba lemat ten nie wymaga komentarza.
Po rozwinięciu mamy a^2b+1\ge a^2+b, dodajemy stronami tę nierówność i dwie podobne, koniec.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 1377
Oczywiście.
Poprzednia wynika z (1-b)\left(1-a^2\right)+(1-a)a\ge 0.
Inaczej: w poprzedniej i w ostatniej P-L są wklęsłe względem każdej ze zmiennych, więc wystarczy sprawdzić nierówność na brzegu, tj. wziąć np. a\le b,c i popatrzeć na (1,1,1),(0,1,c),(0,0,c).

EDIT: \sum_{cyc} a^2b+3\ge 2\sum_{cyc}a już nie trzyma, nawet z warunkiem na sumę nieujemnych zmiennych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2019, o 00:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
w moim wariancie nierówności miałem na myśli, aby użyć nierówności a^2+b^2\le 1+a^2b^2 \iff (1-a^2)(1-b^2) oraz a^2b^2 \le a^2b; to oczywiście jest dokładnie to samo rozwiązanie, co zaproponowane przez bosą_Nike

dalsze wzmocnienie a4karo opiera się na podobnym pomyśle, co zauważył Pszemek

to ciekawe, że nierówność 2(a+b+c) \le 3+a^2b+b^2c+c^2a nie jest na ogół prawdziwa

nasuwa się problem: wyznaczyć wszystkie \xi,\zeta mające tę własność, że dla dowolnych 0\le a,b,c \le 1 zachodzi nierówność a^\xi+b^\xi+c^\xi+a^\zeta+b^\zeta+c^\zeta \le 3+a^2b+b^2c+c^2a
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dziwna nierówność  szysza94  1
 dziwna nierownosc  Shameyka  2
 dziwna nierównosc  Graves71  4
 dziwna nierówność - zadanie 2  pjetagoras  6
 dziwna nierówność - zadanie 3  spzkasia  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl