szukanie zaawansowane
 [ Posty: 34 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 14:43 
Użytkownik

Posty: 5694
Lokalizacja: Kraków
1. Niech f : \NN \to \NN będzie taka, że f \left( f \left( n \right) \right) = 3n oraz f \left( n+1 \right) > f \left( n \right) dla dowolnego n. Wyznaczyć f \left( 2019 \right).

2. Udowodnić, że jeśli F jest ograniczoną figurą na płaszczyźnie i mającą środek symetrii, to środek ten jest punktem stałym każdej izometrii własnej tej figury.

3. W ciągu f_n = 2f_{n-1 } - f_{n-2}+ 2 dla n \geq 2, f_0=1 oraz f_1 jest dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że f_kf_{k+1} też jest wyrazem tego ciągu dla dowolnego całkowitego k \geq 0 .

4. Spośród 1600 osób utworzono 16000 grup (komitetów) w każdym było 80 osób. Udowodnić że istnieją dwa komitety w których są nie więcej niż 4 te same osoby.

5. Na ile sposobów można rozmieścić liczby -1, 0, 1 na szachownicy n \times n, tj. na każdym polu jest dokładnie jedna z tych liczb; tak aby suma wszystkich liczb na dowolnej najkrótszej drodze wieży szachowej z lewego górnego do prawego dolnego rogu była równa zeru ?

6. Funkcja f ma tę własność iż \frac{27 f \left( -x \right) }x{} - x^2 f \left( \frac{1}{x} \right) = -2x^2 gdy x\neq 0 . Wyznaczyć f \left( 3 \right).

7. Rzucamy równocześnie trzema kostkami do gry dopóki na wszystkich z nich nie wypadnie ta sama liczba oczek. Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

8. Wyznaczyć wszystkie silnie rosnące funkcje f: \ZZ \to \RR o tej własności że jeśli m, n są dowolnymi liczbami całkowitymi to istnieje k takie, że f \left( k \right) = f \left( m \right) - f \left( n \right).

9. Wyznaczyć liczby całkowite r, s gdzie 0< s< 200 takie, że \frac{45}{61}> \frac{r}{s} > \frac{59}{80}. Czy rozwiązanie jest jedyne ?

10. Ptyś i Balbinka grają w grę: na zmianę rysują przekątne 2n kąta foremnego, ale tak, by nie miały punktów wspólnych z dotychczas narysowanymi przekątnymi. Przegrywa ten, który nie może narysować już żadnej przekątnej. Zaczyna Ptyś, kto ma strategię wygrywającą ?

11. Udowodnić, że jeżeli wszystkie ściany wielościanu są czworokątami, to ma on sześć ścian.

12. Niech X = \left\{ 1,…, 8 \right\}. Wyznaczyć maksymalną liczność rodziny trzyelementowych podzbiorów X, takich że część wspólna dowolnych dwóch z nich nie jest zbiorem dwuelementowym.

13. Na szachownicy n \times n należy umieścić jak najwięcej gońców ale tak, by na każdej przekątnej było co najwyżej trzy gońce. Udowodnić, że gdy n=8 maksymalna liczba gońców to 38 i rozwiązać ten problem dla n =7 i n=9.

14. Niech f \left( x \right) = \frac{1}{10} \frac{1+10x}{1-10x}.
Wyznaczyć f \left( \frac{1}{2} \right) + f ^2 \left( \frac{1}{2} \right) +…+ f^{2019} \left( \frac{1}{2} \right)
gdzie f^k oznacza k tą iterację f.

15. Udowodnić, że ilość ciągów binarnych a_1,…,a_n, w których jest dokładnie m sekwencji 01 jest równa {n+1 \choose 2m+1}.

16. Dla jakich a, b ciąg

\begin{cases} a_{n+1}= 1+ ba_n \\ a_1=a \end{cases}

jest zbieżny ?

17. Wyznaczyć sumę współczynników wielomianów W \left( x \right) i W^\prime \left( x \right) jeśli W \left( x \right) = \left( 1-x-x^2 \right) ^3 \left( 1-3x+x^2 \right) ^2.

18. Udowodnić, że jeśli a+b=1 oraz a, b \geq 0 to \sqrt{a^2+b}+ \sqrt{b^2+a} + \sqrt{1+ab} \leq 3 .

19. Rozwiązać układ
\begin{cases} \tg^2 \left( x \right) + 2\ctg^2 \left( 2y \right) = 1\\ \tg^2 \left( y \right) + 2\ctg^2 \left( 2z \right) = 1 \\ \tg^2 \left( z \right) + 2\ctg^2 \left( 2x \right) = 1. \end{cases}

20. Udowodnić, że dla ciągu
\begin{cases} \left( 3-a_{n+1} \right) \left( 6+a_n \right) = 18 \\ a_0=3 \end{cases}
zachodzi równość \sum_{j=0}^n \frac{1}{a_j} = \frac{1}{3} \left( 2^{n+2} -n -3 \right) .

21. Rozwiązać równanie x + \sqrt{x \left( x+1 \right) } +\sqrt{x \left( x+2 \right) }+ \sqrt{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) } = 2.

22. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n takie, że n^2+ 59n +881 jest kwadratem liczby całkowitej.

23. Określony jest ciąg:
\begin{cases} a_{n+1}= \frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3} - a_{n-1}} \\ a_0=2 \end{cases}
Przedstawić a_{2019} w formie p + q \sqrt{3} \in Q \left( \sqrt{3} \right).

24. Udowodnić, że funkcja f \left( x \right) = \frac{1}{x}-x jest bijekcją zbiorów \left( 0, +\infty \right) i \left( -\infty, +\infty \right).

25. Rozwiązać równanie w zbiorze liczb całkowitych \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^{x+1}= \left( 1+ \frac{1}{2019} \right) ^{2019}.

26. We wszystkie pola nieskończonej szachownicy wpisano kolejne liczby naturalne (spiralnie i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Udowodnić, że
i) kwadraty liczb nieparzystych są na jednej diagonali;
ii) istnieje półprosta taka, że liczby na wszystkich jej polach nie są wielokrotnościami 3
półprosta to dowolne pole i wszystkie pola na prawo od niego (z tego samego rzędu).

27. Rozwiązać nierówność \sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} > \frac{x-1}{x}.

28. Dla jakich m zachodzi twierdzenie:
Jeśli k jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych to także mk jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych ?

29. Wyznaczyć wszystkie liczby n, m, p \in \QQ takie, aby każda z liczb m+ \frac{1}{np}, n+ \frac{1}{mp}, p+ \frac{1}{nm} była całkowita.

30. Czy równanie x^2+ 2019 =2^n ma całkowitoliczbowe rozwiązania?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
22.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 15:06 
Użytkownik

Posty: 16180
Lokalizacja: Bydgoszcz
17:    


24:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 15:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
6.:    


30.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 15:46 
Użytkownik

Posty: 16180
Lokalizacja: Bydgoszcz
9:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 15:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6753
11:    


.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 16:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
18.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 16180
Lokalizacja: Bydgoszcz
16:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 17:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
20.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 17:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6753
5 (chyba):    

10:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 18:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
14.:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 18:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6753
7:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 813
Lokalizacja: Polska
"1":    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 19:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 390
Lokalizacja: Rybnik
Część zadania 17:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2019, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 813
Lokalizacja: Polska
24:    


-- 2 sty 2019, o 21:00 --

17_Reszta:    


-- 2 sty 2019, o 21:15 --

25:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 34 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nowy słownik polsko-angielski....  kuba1492  4
 Nowy wzór matematyczny  WacekFromTHC  6
 Nowy (stary?) moderator - bartek118  yorgin  2
 Nowy moderator - Althorion  luka52  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl