szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Grynewald
Należy wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:

f \left( x \right)  = \log  \left( \log _{\frac{1}{3}} \left( \sin 2x \right)  \right)  + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{\cos x}}

Jeżeli się nie mylę, należy rozwiązać następujące równania oraz nierówności:

1.\,\cos x \geq 0 \\
 2.\,\frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{\cos x} \neq 0 \\
 3.\,\sin 2x > 0 \\
 4.\,\log _{\frac{1}{3}} \left( \sin 2x \right)  > 0

Udało mi się dotrzeć do następujących rozwiązań:

Ad\,1.\, x \in  \left( -\frac{\pi }{2} + 2k\pi, \frac{\pi }{2} + 2k\pi \right) , k \in \mathbb{Z} \\
 Ad\,2.\,x \neq\pm  \frac{\pi }{3} + 2k\pi, k\in \mathbb{Z} \\
 Ad\,3.\,x\in \left( k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi \right) , k\in \mathbb{Z} \\
 Ad\,4.\,x\in\mathbb{R}\setminus \left  \left\{  {\frac{\pi}{4}+k\pi} \right  \right\} , k\in \mathbb{Z}

Jeżeli coś dotychczas zrobiłem nie tak, to prosiłbym o wskazanie co należy poprawić. Jeżeli chodzi o sam problem, to nie mam pojęcia jak zabrać się do połączenia tych czterech dziedzin w jedną spójną całość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 04:34 
Użytkownik

Posty: 15895
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jest ok.
Najlepiej narysuj sobie rozwiązania w przedziale [0,2\pi] (dalej obrazek się powtarza)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 11:57 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Grynewald
Dzięki za odpowiedź. Może jakieś dokładniejsze sugestie jak to ugryźć? Rysując wszystkie przedziały na osi, ciągle nie jestem w stanie ubrać tego wszystkiego w dziedzinę określoną jednym ciągiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 12:16 
Administrator

Posty: 23987
Lokalizacja: Wrocław
W przedziale [0,2\pi] na mocy warunków 1. i 3. zostaje Ci tylko \left( 0,\frac{\pi}{2}\right). Teraz uwzględnij warunki 2. i 4.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 15895
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ależ wcale nie musisz tego zapisywać jednym wzorem.

Ja bym to zapisał jako sumę podprzedziałów [0,2\pi] i pododawał przesunięcia tego zbioru.
Np A=I_1\cup I_2\cup I_3
D_f= \bigcup_{k=-\infty}^{\infty} A+2k\pi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 12:56 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Grynewald
Jan Kraszewski napisał(a):
W przedziale \left[ 0,2\pi \right] na mocy warunków 1. i 3. zostaje Ci tylko \left( 0,\frac{\pi}{2}\right). Teraz uwzględnij warunki 2. i 4.


Czyli powinno wyjść tak?

x\in \left( 2k\pi,\,\frac{\pi}{2}+2k\pi \right) \,\setminus\,\left \left\{ \frac{\pi}{4} + 2k\pi,\,\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\right \right\} ,\,k\in\mathbb{Z}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 15:34 
Administrator

Posty: 23987
Lokalizacja: Wrocław
W zasadzie tak, ale:

1. niepotrzebnie wyrzucasz -\frac{\pi}{3}+2k\pi, bo i tak tych liczb nie ma w \left( 2k\pi,\,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);

2. wolałbym zapis z sumą uogólnioną (jeśli wiesz, co to takiego):

D_f= \bigcup_{k\in\ZZ}\left( \left( 2k\pi,\,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)  \cup \left( \frac{\pi}{4}+2k\pi,\,\frac{\pi}{3}+2k\pi\right) \cup \left( \frac{\pi}{3}+2k\pi,\,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)  \right)

lub

D_f=\left(\bigcup_{k\in\ZZ} \left( 2k\pi,\,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)  \right) \setminus \left(\left \{\frac{\pi}{4} + 2k\pi: k\in\ZZ \}\cup \left \{\frac{\pi}{3}+2k\pi\right:k\in\ZZ \} \right).

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dziedzina funkcji złożonej  Ankaz  3
 Dziedzina funkcji złożonej - zadanie 2  huberts  2
 Dziedzina funkcji złożonej - zadanie 3  patlas  4
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl