szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 17:15 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Łódź
Witam, rozwiązałam 2 zadania z funkcji tworzących. Czy są to poprawne rozwiązania?

(1) Wyznacz funkcję tworzącą ciągu.

a_{n} =  \begin{cases} 2^{n+1} \ \ dla \ n: n|3 \\ 0 \ \ dla \ pozostałych \ n \end{cases}

Moje rozwiązanie:

f(z) = 2 \cdot z^{0} + 0 \cdot z^{1} + 0 \cdot z^{2} + 2^{4} \cdot z^{3} + 0 \cdot z^{4} + 0 \cdot z^{5} +  2^{7} \cdot z^{6} \dots =  \sum_{i=0}^{ \infty } 2^{3i+1}z^{3i} = 2 \cdot \sum_{i=0}^{ \infty } 2^{3i}z^{3i} =2 \cdot \left( \sum_{i=0}^{ \infty } 2^{3}z^{3} \right)^{i} = 2 \cdot \frac{1}{1-2^{3}z^{3}} = \frac{2}{1-2^{3}z^{3}} = \frac{1}{1 - 4z^{3}}

(2) Znajdź ciąg generujący funkcję tworzącą

A(z) = 2z - 1 + \frac{1}{2-2z^{2}}

Moje rozwiązanie:

A(z) = 2z - 1 + \frac{1}{2-2z^{2}} = -1 + 2z + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - z^{2}} = \left| y = z^{2} \right| = -1 + 2\sqrt{y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-y} = -1 + 2\sqrt{y} + \frac{1}{2} \cdot  \sum_{n=0}^{} y^{n} = -1 + 2z + \frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^{} z^{2n} = \left| k = 2n \right| = -1 + 2z +  \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{2} z^{k}

ak = \begin{cases} -1 \ \ dla \ k=0 \\ 2 \ \ dla \ k=1 \\ \frac{1}{2} \ \ dla \ k  \ge 2 \end{cases}

Rozwiązałam ten przykład wzorując się na innym, stąd \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{2} z^{k}. Nie rozumiem, skąd ta 2 się bierze i nie jestem pewna, czy to dobrze. Każda pomoc i wyjaśnienia są mile widziane. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 "na ile sposobów mozna ustawić ciąg..."  ktosia  6
 Ciąg rekurencyjny - zadanie  Arika  1
 Funkcje niemalejące  author  6
 Kombinatoryka - ciąg liczb  Acura_100  5
 wyprowadzenie wzoru na funkcję Eulera  nykus  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl