szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Wlocławek
Niech p \in ]0,1[ oraz niech f:]0,1[ \rightarrow \mathbb R dane będzie wzorem.
f(x)= x \ln \frac{x}{p}+(1-x) \ln \frac{1-x}{1-p}
Udowodnić, że
f(x) \ge  2(x-p)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2019, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 15837
Lokalizacja: Bydgoszcz
f(p)=f'(p)=0 a f''(x)=\frac{1}{x-x^2}\geq 4

Zatem funkcja f(x)-2(x-p)^2 jest wypukła i styczna do osi OX w punkcie p - stąd szukana nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2019, o 10:15 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Wlocławek
Nie rozumiem paru rzeczy...
a4karo napisał(a):
f(p)=f'(p)=0.

Jak dojść do tego że f(p)=0
Dochodzę do momentu f(p)=\ln\frac {x^{x}{(1-x)^{(1-x)}}}{p(1-p)}

a4karo napisał(a):
\frac{1}{x-x^2}\geq 4

Dlaczego zachodzi nierówność?


Nie rozumiem jak poprzednich zdań wynika implikacja że
a4karo napisał(a):
Zatem funkcja f(x)-2(x-p)^2 jest wypukła i styczna do osi OX w punkcie p - stąd szukana nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2019, o 10:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1885
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Jak dojść do tego że f(p)=0
Podstawić p zamiast x do funkcji f\left( x\right) i pamiętać że \ln 1=0
Cytuj:
\frac{1}{x-x^2}\geq 4
Dlaczego zachodzi nierówność?
Bo x\in\left( 0,1\right) a funkcja kwadratowa postaci x\left( 1-x\right) ma maksimum w \frac{1}{2} o wartości \frac{1}{4} zatem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2019, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 15837
Lokalizacja: Bydgoszcz
Unforg1ven napisał(a):


Nie rozumiem jak poprzednich zdań wynika implikacja że
a4karo napisał(a):
Zatem funkcja f(x)-2(x-p)^2 jest wypukła i styczna do osi OX w punkcie p - stąd szukana nierówność.

Bo pochodna funkcji wypukłe rośnie, więc na lewo od p jest ujemna, a na prawo dodatnia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność miedzy srednimi  _el_doopa  6
 gradient ... udowodnic tozsamosc  Anonymous  1
 pochodnie i nierownosc  esberitox  1
 jak udowodnić ?  agatka00k  1
 Stosując elementy badania funkcji, udowodnić, że:  kawaii  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl