szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Pomorskie
Witajcie!

Czy jest ktoś w stanie udowodnić podane dowody?
Ja niestety zbytnie nie rozumiem tego.

Tutaj przykład jakiej metody użyć:

z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1} = (x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}) = (x_{2}, y_{2}) + (x_{1}, y_{1}) = z_{2} + z_{1}

A tutaj same dowody:

1) \forall z=(x,y)\in \CC \ \ \exists -z \in \CC takie, że z + (-z) = 0;

2) \overline{z}=|z| \  e^{-i \varphi

3) -z = |z| \ e^{-i( \varphi + \pi )

4) \frac{1}{z} = \frac{1}{|z|} \ e^{-i \varphi

5) z^{k} = |z|^{k} \ e^{ik\varphi} , k\in\ZZ

Liczę na waszą pomoc :)!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 15:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 418
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Z czym konkretnie masz problem? Nie znasz definicji modułu liczby zespolonej, postaci trygonometrycznej, czy sprzężenia itp.? 5) może jest troszeczkę trudniejsze, to wzór de Moivre'a(dowód znaleźć to tyle co wklepać w google), tam trzeba trochę trygonometrii użyć i potem indukcji.
Np. 1)
Ustalmy dowolne z  \in \CC. Wtedy z = (a, b) dla pewnych a,b \in \RR. Niech -z = (-a, -b), wtedy -a, -b \in \RR więc -z \in \CC. Ale mamy z+(-z)= (a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = 0

Spróbuj sam któryś przykład tu napisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 16:25 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Pomorskie
Nie rozumiem momentu w którym pojawia się e^{-i\varphi} co tam wstawić, jak tego użyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 16:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 418
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
To postać wykładnicza, u mnie taki zapis był stosowany jakiś czas temu bardziej jako skrót i był podany szkic dowodu, że to rzeczywiście prawda(a nie tylko krótszy zapis), podejrzewam, że nie musisz tego dowodzić że te równości niżej zachodzą tylko z tego skorzystać ;D
e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\cdot \sin \varphi
e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i\cdot \sin \varphi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Pomorskie
Czyli jak wygląda dowód nr.2 \overline{z}=|z| \ e^{-i \varphi ?

x-y_{i} = \sqrt{ x^{2} + y^{2}} \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)

Co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 18:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 38
Lokalizacja: Warszawa
Każdą liczbę zespoloną z możemy zapisać w postaci trygonometrycznej jednoznacznie z dokładnością do 2 \pi. Możemy napisać z = |z|( \cos \varphi + i \sin \varphi ). Łatwo to sobie wyobrazić na płaszczyźnie, gdzie na osi rzeczywistej odmierzamy odcinek |z| i następnie obracamy go o kąt \varphi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół początku układu współrzędnych. Zauważ teraz, że liczba \overline{z} jest odbiciem punktu z względem osi liczb rzeczywistych (z definicji jeżeli z = a + bi to \overline{z} = a - bi. Teraz wystarczy zauważyć, że liczba |z|( \cos (- \varphi ) + i \sin ( - \varphi ) ) jest równa |z|( \cos \varphi - i \sin \varphi ) (korzystamy tutaj z faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą, a cosinus - parzystą). W takim razie możesz sobie narysować punkt z (dla przykładu z = 2( \cos   30^{ \circ } + i \sin 30^{ \circ } ) - leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych) i wtedy punkt 2( \cos   30^{ \circ } - i \sin 30^{ \circ } )
będzie symetryczny do z względem osi liczb rzeczywistych, więc będzie liczbą sprzężoną do z. Tak naprawdę e^{i \varphi} jest zazwyczaj po prostu skróconą postacią zapisu \cos \varphi + i \sin \varphi, chociaż żeby wyprowadzić ten fakt trzeba umieć trochę analizy:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Własności liczb zespolonych  forgottenhopes  3
 Zbór liczb zespolonych  forgottenhopes  5
 Pierwiastki z liczb zespolonych  pawelbizu  2
 Moduł i faza liczb zespolonych z wartościami trygonometr.  wdr  2
 Równanie liczb zespolonych - zadanie 23  anq_  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl