szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 18:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 38
Lokalizacja: Warszawa
Niech a,b,c \in \mathbb{C} są różne i |a| = |b| = |c| = 1. Udowodnić:

\frac{( \frac{1}{b} -  \frac{1}{a} )(  \frac{1}{c} +  \frac{1}{abc} )   }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) } \in \mathbb{R}.

Jest to część rozwiązania pewnego zadania geometrycznego, w którym autor napisał ten ułamek i uznał, że oczywistym jest, że należy on do liczb rzeczywistych. Czy jest to jakiś znany fakt, którego nie widzę czy może po prostu jakoś łatwo się to oblicza? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2019, o 20:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 304
Robisz tak:

Niech \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }.
Po rozszerzeniu na pałę odpowiednich ułamków, skorzystaniu z faktu, że z\cdot \overline{z}=|z|^2 dla dowolnego z\in\mathbb{C}, liniowości sprzężenia i tak dalej, otrzymamy:

\lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }=\frac{(a-b)(ab+1)ac\cdot abc}{ab \cdot abc(a-c)(ac+1)}=\frac{(b-a)(abc+c)}{(c-a)(abc+b)}=\frac{(\frac{1}{\overline{a}}-\frac{1}{\overline{b}})(\frac{1}{\overline{c}}+\frac{1}{\overline{abc}})}{(\frac{1}{\overline{c}}-\frac{1}{\overline{a}})(\frac{1}{\overline{b}}+\frac{1}{\overline{abc}})}=\\=\overline{\left(\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }\right)}=\overline{\lambda}.

Zatem okazało się, że dana liczba równa jest swojemu sprzężeniu, zatem musi być rzeczywista, bo \lambda-\overline{\lambda}=2iIm(\lambda)=0, stąd Im(\lambda)=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2019, o 18:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 38
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki wielkie:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Interpretacja geometryczna - zadanie 27  Patrox  2
 Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej.  Layne  1
 W jaki sposób wykonać interpretację geometryczną?  Zacny_Los  1
 Postac geometryczna liczby zespolonej  legos  3
 Jaka jest interpretacja geometryczna równania?  hubertwojtowicz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl