szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Polska
Znajdź wszystkie a całkowite dodatnie, dla których zachodzi: a |  2^{a}-1.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Polska
Domyślam się, ze chodziło o:
a | \left( 2^{a}-1\right)

Dla jedynki działa, teraz sprawdźmy większe liczby:

2^a - 1 = k \cdot a
Pokażemy, że nie istnieje takie naturalnek, które spełnia to równanie:


zatem k i a+1 muszą być jednocześnie potęgami dwójki, takimi że:
a = 2^p - 1 i k = 2^q, gdzie q+p = a
( p dodatnie z założenia a > 0, q dodatnie, bo 2^a  > a+1)

2^a - 1 = 2^q \cdot 2^p - 2^q \\ 2^a = 2^q \cdot 2^p - 2^q + 1 \\ 2^a = 2^a \left( 2^{-p} 2^{-q} - 2^{-p} + \frac{1}{2^a}\right)

\left( 2^{-p} 2^{-q} - 2^{-p} + \frac{1}{2^a}\right) = 1 co jest nieprawdą. Zatem nie istnieje takie k.

Czyli jest tylko jedno takie a i jest równe 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 158
Lokalizacja: Łódź
PieknoMatematyki napisał(a):
Domyślam się, ze chodziło o:
a | \left( 2^{a}-1\right)

Dla jedynki działa, teraz sprawdźmy większe liczby:

2^a - 1 = k \cdot a
Pokażemy, że nie istnieje takie naturalnek, które spełnia to równanie:


zatem k i a+1 muszą być jednocześnie potęgami dwójki, takimi że:


k ani a nie mogą być potęgami dwójki, skoro ich iloczyn daje liczbę nieparzystą
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 17:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3578
Lokalizacja: blisko
n>2

n- nieparzyste musi być,

p>2 , p|n

p - liczba pierwsza

niech:

n=pk

2^n-1=2^{pk}-1=\left( 2^k\right)^p-1

niech.: a=2^k

musiałoby być:

p|a^p-1

co jest nieprawdą...


Cytuj:
zatem k i a+1 muszą być jednocześnie potęgami dwójki, takimi że:
a = 2^p - 1 i k = 2^q, gdzie q+p = a
( p dodatnie z założenia a > 0, q dodatnie, bo 2^a  > a+1)

2^a - 1 = 2^q \cdot 2^p - 2^q \\ 2^a = 2^q \cdot 2^p - 2^q + 1 \\ 2^a = 2^a \left( 2^{-p} 2^{-q} - 2^{-p} + \frac{1}{2^a}\right)

\left( 2^{-p} 2^{-q} - 2^{-p} + \frac{1}{2^a}\right) = 1

co jest nieprawdą. Zatem nie istnieje takie k.


Pewnego rodzaju herezje...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 158
Lokalizacja: Łódź
arek1357 napisał(a):
n>2

n- nieparzyste musi być,

p>2 , p|n

p - liczba pierwsza

niech:

n=pk

2^n-1=2^{pk}-1=\left( 2^k\right)^p-1

niech.: a=2^k

musiałoby być:

p|a^p-1

co jest nieprawdą...



no chyba nie do końca:

2^{21}-1= 8^7-1=2097151

co wygląda na podzielne przez 7 ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 19:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3578
Lokalizacja: blisko
Masz rację zasugerowałem się małym tw. Fermata i za szybko wyciągnąłem wnioski
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 158
Lokalizacja: Łódź
małe twierdzenie Fermata wygląda na dobry trop.
może autor zadania coś podpowie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2019, o 20:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3578
Lokalizacja: blisko
Ale to jest do uratowania , trzeba wziąć p jako najmniejszy pierwszy dzielnik liczby n...

p>2

niech też:

d=NWD(n,p-1)

I teraz:

niech:

p|2^n-1

Musi być jak wiadomo z m.t.F.

p|2^{p-1}-1

stąd mamy:

p|2^d-1

ale z warunków wyjdzie, że d=1

czyli: p|1

Sprzeczność...

No właśnie nie dopatrzyłem, że branie dowolnego p nie musi doprowadzić do sprzeczności...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl