szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2019, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Polska
Mamy szereg harmoniczny: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.

Dowód rozbieżności:
Niech S_n = 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_n = \infty

Weźmy dwa podciągi: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} i \sum_{n=1}\frac{1}{3^n}, pierwszy z nich przy n \to \infty zbiega do 1 (jako ciąg geometryczny o ilorazie \frac{1}{2}), drugi natomiast przy n \to \infty zbiega do \frac{1}{3} \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}.

1 \neq \frac{1}{2}, a wyrazy ciągu \frac{1}{n} są dodatnie, więc \lim_{n \to \infty} S_n = \infty.

Ale zastanawiam się, czy pokazanie takich dwóch podciągów jest wystarczające, bo
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n też ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic, a nie ma granicy żadnej, nawet niewłaściwej.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2019, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 16180
Lokalizacja: Bydgoszcz
To, co pokazałeś niczego nie dowodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2019, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 258
Lokalizacja: Włocławek
Gafa->
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2019, o 09:23 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8175
Lokalizacja: Wrocław
Ciąg sum częściowych szeregu \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} to ciąg

S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}.

Jego podciągi są postaci

S_{n_m} = \sum_{k=1}^{n_m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n_m},

na przykład dla n_m = 2^m dostajemy podciąg

S_{2^m} = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2^m}.

Podciągiem S_n nie jest zaś, jak zdajecie się sądzić, ciąg

\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}.

Mówiąc prościej, branie podciągu polega na omijaniu niektórych sum częściowych, a nie na omijaniu niektórych z sumowanych wyrazów.

Dlatego zbieżność szeregu \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} i podobnych nie mówi nich o zbieżności szeregu \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozbieżność szeregu - zadanie 2  okon  18
 Rozbieżność szeregu - zadanie 9  KillerQueen_  2
 rozbieżność szeregu  okon  2
 Rozbieżność szeregu - zadanie 5  NumberOne  1
 Rozbieżność szeregu - zadanie 6  ranisz1980  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl