szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Krasnystaw
Znajdź zbiór środków wszystkich cięciw okręgu x^2+y^2+4y+3=0, wyznaczonych przez proste przechodzące przez punkt P=(0,1).

Próbowałem to zadanie rozwiązać poprzez rozwiązanie układu równań
\begin{cases} y=ax+1\\x^2+y^2+4y+3=0\end{cases}

Niestety nie daje mi to dobrego rozwiązanie. Domyślam się, że trzeba jakoś inaczej podejść do niego. Pytanie tylko jak?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 15:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6924
To dobre podejście.
x^2+(ax+1)^2+4(ax+1)+3=0\\
(a^2+1)x^2+6ax+8=0

Środki siecznych maja współrzędne \left(  \frac{x_1+x_2}{2} ; \frac{y_1+y_2}{2} \right)

\frac{x_1+x_2}{2}=  \frac{ \frac{-6a}{a^2+1}}{2} = \frac{-3a}{a^2+1}  \\
\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{ax_1+1+ax_2+1}{2}=\frac{-2a^2+1}{a^2+1}
szukany zbiór zadany parametrycznie:
\begin{cases} x=\frac{-3a}{a^2+1} \\ y=\frac{-2a^2+1}{a^2+1} \end{cases}

Sprawdż czy powyższe punkty spełniają równanie:
x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{9}{4}
Jeśli tak, to szukanym zbiorem będzie łuk tego okręgu ograniczony do wnętrza okręgu z treści zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Krasnystaw
kerajs napisał(a):
szukany zbiór zadany parametrycznie:
\begin{cases} x=\frac{-3a}{a^2+1} \\ y=\frac{-2a^2+1}{a^2+1} \end{cases}

Mi wyszło parametrycznie:
\begin{cases} x=\frac{-6a}{a^2+1} \\ y=\frac{-5a^2+1}{a^2+1} \end{cases}

kerajs napisał(a):
Sprawdż czy powyższe punkty spełniają równanie:
x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{9}{4}
Jeśli tak, to szukanym zbiorem będzie łuk tego okręgu ograniczony do wnętrza okręgu z treści zadania.

Ale w jaki sposób miałbym wpaść, że to akurat takie równanie okręgu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 15:57 
Użytkownik

Posty: 4497
Zapisz równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Zapisz równanie pęk prostych jako y = mx +1,

Wstaw to równanie do równania okręgu.

Otrzymasz równanie kwadratowe.

Zażądaj aby jego wyróżnik \Delta >0 (dwa punkty przecięcia prostej z okręgiem)

Wyznaczysz zakres parametru m.

Oblicz średnie arytmetyczne współrzędnych punktów przecięcia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Krasnystaw
janusz47 napisał(a):
Zapisz równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Zapisz równanie pęk prostych jako y = mx +1,

Wstaw to równanie do równania okręgu.

Otrzymasz równanie kwadratowe.

Zażądaj aby jego wyróżnik \Delta >0 (dwa punkty przecięcia prostej z okręgiem)

Wyznaczysz zakres parametru m.

Oblicz średnie arytmetyczne współrzędnych punktów przecięcia.


To wszystko zrobiłem. Wciąż nie wiem jak z postaci parametrycznej:

witia1990 napisał(a):
\begin{cases} x=\frac{-6a}{a^2+1} \\ y=\frac{-5a^2+1}{a^2+1} \end{cases}


miałbym wpaść, że chodzi o równanie okręgu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 19:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6924
\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{ax_1+1+ax_2+1}{2}=\frac{a(x_1+x_2)+2}{2}= \frac{ a \cdot \frac{-6a}{a^2+1} +2}{2} =\\=\frac{  \frac{-6a^2+2a^2+2}{a^2+1} }{2} =\frac{-2a^2+1}{a^2+1}


Teraz odpowiedź na trudne pytanie:
witia1990 napisał(a):
Ale w jaki sposób miałbym wpaść, że to akurat takie równanie okręgu?
Fakt, z postaci parametrycznej trudno to wywnioskować. Ja pamiętałem ze szkoły średniej że środki cięciw leżą na okręgu więc znalazłem oczywiste jego punkty: środek okręgu z treści zadania (0,-2) oraz jeden z punktów styczności tego okręgu z prostą przechodząca przez P czyli ( \frac{2 \sqrt{2} }{3}, \frac{-5}{3} ). Znając te punkty wyliczyłem równanie okręgu i sprawdziłem że obliczona postać parametryczna rzeczywiście je spełnia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lut 2019, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 16449
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dla uproszczenia przesuńmy cały obrazek o 2 jednostki w górę. Wtedy okrąg stanie się okręgiem jednostkowym, a punkt P będzie miał współrzędne P=(0,3). Środek okręgu oznaczmy standardowo przez O

Niech prosta wychodząca z punktu P przecina okrąg w punktach A i B, a K niech będzie środkiem odcinka AB.
Trójkąt APB jest równoramienny, zatem jego wysokość OK jest prostopadła do KP. Oznaczmy kąt OPK przez \alpha.

Z trójkąta OKP mamy

(*) |OK|=|PO|\sin\alpha=3\sin\alpha
Współrzędne punktu K oznaczymy przez (x_K,y_K)
Zauważmy ponadto, że \alpha jest równy kątowi pomiędzy OK i osią OX. Zatem
(**) y_K=|OK|\sin\alpha.
Mamy |OK|^2=x_K^2+y_K^2
Mnożąc (*) przez |OK| dostajemy
x_K^2+y_K^2=|OK|^2=3|OK|\sin\alpha=3y_K, a to jest równanie okręgu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Przez punkt A poprowadż styczne do okręgu  Anonymous  3
 Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu  _el_doopa  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl