szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2019, o 20:50 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
Witam,

chciałbym uzyskać metodą Castigliano wzór na ugięcie wolnego końca belki wspornikowej (punkt C) obciążonej siłą przyłożoną na środku belki (w punkcie B). Wyszło mi tak:

Obrazek

y_{c}=\ ?

fikcyjne obciążenie: P=0


0 \le x \le L

M(x)=F  \frac{x}{2} + Px

\frac{ \partial M(x)}{ \partial P}=x

y_{c}= \frac{ \partial U}{ \partial P}=  \frac{1}{EI} \int\limits_{0}^{L} M(x) \cdot \frac{ \partial M(x)}{ \partial P} \ dx= \frac{1}{EI}\int\limits_{0}^{L} \left(F  \frac{x}{2}+Px \right) \cdot x \ dx = \frac{F}{EI} \int\limits_{0}^{L} \frac{x^{2}}{2} \ dx= \frac{F}{EI} \cdot \left[  \frac{x^{3}}{6} \right]_{0}^{L}= \frac{F L^{3}}{6EI}

Jest dobrze czy zrobiłem jakiś błąd ? Jeśli tak to gdzie ?

Z góry dziękuję za pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2019, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 6058
Lokalizacja: Staszów
Mam wrażenie, że dla tak zaznaczonego x moment zginający w przekroju belki w odległości \frac{L}{2}   \le     x  \le L od przekroju utwierdzenia jest równy:

M_x = - M_u + V_A \cdot x - F \cdot (x -  \frac{L}{2})

a wtedy M_x = P \cdot (L-x),
i, \frac{ \partial M_x}{ \partial P} = (L-x)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2019, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
Racja. Wzorowałem się na tym: https://www.eduo.pl/blog/metoda-castigl ... ecie-belki

Tutaj autor wprowadził przedział x od prawej strony a ja z przyzwyczajenia zrobiłem to od lewej. Ale w takim razie, jeśli przyjmę x od prawej i ze znakami < zamiast \le (dzięki czemu można pominąć reakcje w utwierdzeniu) to obliczenia powinny się zgadzać a wynik będzie taki sam, prawda ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2019, o 23:49 
Użytkownik

Posty: 6058
Lokalizacja: Staszów
Autor zaznaczył przedział OD SWOBODNEGO KOŃCA BELKI. I zrobił to z rozmysłem.
Takie zadanie jak przywołane jest rozwiązane w:
Lisiecki A, Siemieniec A. Wytrzymałość materiałów przykłady oblicześ-zadania, jako Przykład 6.59.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2019, o 00:00 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
Zgadza się, na zalinkowanej przeze mnie stronie widać, że przedział jest od wolnego końca belki. Ale obliczenia wykonałem analogicznie jak w tym źródle, więc powinny się zgadzać. Czy można więc uznać wynik \frac{F L^{3}}{6EI} za prawidłowy ? Nadrabiam braki (na zajęciach z wytrzymałości tego nie mieliśmy) i chciałbym wiedzieć czy dobrze mi wyszło.

Dziękuję za informację o książce. Może gdzieś ją zdobędę - na pewno się przyda na przyszłość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2019, o 11:07 
Użytkownik

Posty: 6058
Lokalizacja: Staszów
Sprawdzić poprawność wyniku można poprzez rozwiązanie inną metodą np. momentów wtórnych.

-- 7 mar 2019, o 13:27 --

Mój wynik sposobem energetycznym z fikcyjną siłą P na końcu belki o długości l to:

f_c =  \frac{1}{6EJ}\left[  2Pl^3 + F \frac{l^2}{4}  (3l- \frac{l}{2})\right] }

Po potraktowaniu siły fikcyjnej P jako równej zero otrzymuję:

f_c =  \frac{1}{6EJ}   \cdot  F \left(  \frac{l^2}{4} \right)  \cdot \left( 3l -  \frac{l}{2} \right) =  \frac{5}{48EJ} Fl^3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2019, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
Wynik \frac{5 F L^{3}}{48EI} jest na pewno prawidłowy. Sprawdziłem to na konkretnym przykladzie (porównanie z MES) a ponadto w książce Roark’s też jest podany taki wzór.

Pytanie brzmi co jest nie tak z moimi obliczeniami. Zapewne jest to kwestia złego równania M(x). Ale przyjmując przedział od prawej strony jak w przykładzie z internetu powinno się zgadzać. Pan by uzyskać poprawny wynik użył takiego równania jak Pan pisał w pierwszym poście:

M_{x}= - M_{u} + V_{A} \cdot x - F \cdot (x - \frac{L}{2})

czy innej wersji ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2019, o 13:40 
Użytkownik

Posty: 6058
Lokalizacja: Staszów
Ja widziałem wielokroć takie wzory w polskojęzycznych podręcznikach i książkach.
Tam autorzy objaśniają przystępnie jak rozwiązywać takie problemy.
Proponuję napisać i przecałkować po przedziałach krok po kroku zapisując i porównać z wcześniej otrzymywaną postacią.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2019, o 20:46 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
Czyli tutaj 1 przedział x nie wystarczy i trzeba wprowadzić 2: 0 \le x_{1}  \le  \frac{L}{2} oraz \frac{L}{2} <x_{2} \le L a następnie policzyć w nich funkcje momentu gnącego M(x_{1}) i M(x_{2}), tak ? Myślałem, że da radę to załatwić 1 przedziałem tak jak w przykładzie z internetu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 mar 2019, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 6058
Lokalizacja: Staszów
Tak i warto poczytać by zrozumieć dla czego tak jest. A jest to "oczywista oczywistość", którą warto znać.

-- 8 mar 2019, o 19:22 --

StudentIB napisał(a):
Czyli tutaj 1 przedział x nie wystarczy i trzeba wprowadzić 2: ......

Czym charakteryzuje się przedział? Co jest jego cechą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 mar 2019, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
kruszewski napisał(a):
Czym charakteryzuje się przedział? Co jest jego cechą?


Do wyznaczania sił wewnętrznych wykorzystuje się metodę myślowych przekrojów. Przy stałym przekroju belki granicami odcinków, w których należy dokonać myślowych przekrojów, są punkty przyłożenia sił zewnętrznych - czynnych i biernych (reakcji podporowych). cytat z: Podstawy wytrzymałości materiałów M. Ostwald

U nas na zajęciach te przekroje myślowe nazywano przedziałami.

Dziękuję za podpowiedź, że należy skorzystać z 2 przekrojów. Teraz wychodzi tak jak powinno:

Obrazek

M(x_{1})=-P \cdot x_{1}

\frac{ \partial M(x_{1})}{ \partial P}=-x_{1}

M(x_{2})=-P \cdot \left( \frac{L}{2}+x_{2}\right) - F \cdot x_{2}

\frac{ \partial M(x_{2})}{ \partial P}=- \frac{L}{2}-x_{2}

y_{c}=\frac{1}{EI} \int_{0}^{\frac{L}{2}} (-P \cdot x_{1}) \cdot (-x_{1}) \ dx_{1} + \frac{1}{EI}  \int_{0}^{\frac{L}{2}} \left( -P \left( \frac{L}{2}+x_{2} \right) - F x_{2} \right) \cdot \left( - \frac{L}{2}-x_{2} \right) \ dx_{2}=\frac{1}{EI}  \int_{0}^{\frac{L}{2}} -F x_{2} \cdot \left( - \frac{L}{2} - x_{2} \right) \ dx_{2} = \frac{5FL^{3}}{48EI}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2019, o 00:42 
Użytkownik

Posty: 6058
Lokalizacja: Staszów
Kolega StudentIB pisze:
"U nas na zajęciach te przekroje myślowe nazywano przedziałami."

Czyżby? A nie początkowymi i końcowymi przekrojami przedziału?
Przedział ma długość której brakuje przekrojowi.
Nie przesłyszał się Kolega?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2019, o 01:50 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Poznań
No tak, słuszna uwaga. Poprawnie jest, że przedział to x określony na danej długości belki a przekrój robimy w wybranym miejscu przedziału.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Mechanika i wytrzymałość materiałów BELKA  bitter-sugar  6
 Belka -Kąt ugięcia przemieszczenie (Metoda Sił)  sayanblade  1
 Belka - wyznaczanie i obliczanie reakcji  kurdt5494  19
 Obciążona belka w równowadze  Czepuch  4
 Belka i metoda Clebscha  matnem  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl