szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 mar 2019, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
hej :) w przyszłym roku będę bronić pracę magisterską z matematyki i jestem na etapie poszukiwania tematu pracy. Szukam inspiracji, może ktoś z Was mi coś podpowie :) głownie jestem zainteresowana analizą zespoloną (pracę licencjacką pisałam na temat odwzorowań konforemnych), ewentualnie równania różniczkowe. Jeśli ktoś z Was miał styczność lub słyszał o czymś ciekawym bardzo proszę o pomoc :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2019, o 17:10 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8258
Lokalizacja: Wrocław
Może coś o zastosowaniu teorii nakryć w analizie zespolonej?

Wiele funkcji holomorficznych f : D \to \CC (a może wszystkie? - możesz pomyśleć), na przykład niestałe wielomiany, sinus, tangens oraz funkcja eksponencjalna, po obcięciu do zbioru

D_0 = \{ z \in D : f'(z) \neq 0 \}

stają się nakryciami na obraz. Jeśli nakrycie jest niejednokrotne, to funkcja nie jest odwracalna w zwykłym sensie, ale można rozważać jej odwrotność jako funkcję wielowartościową. Dalej można:

\bullet zdefiniować odpowiadającą tej funkcji powierzchnię Riemanna;

\bullet zbadać związek grupy podstawowej tej powierzchni z grupą podstawową D - na przykład obszar D = \CC \setminus \{ 0 \} ma grupę podstawową \ZZ, ale powierzchnia Riemanna odpowiadająca funkcji \sqrt{z} to już \ZZ_2, natomiast dla \ln z grupa podstawowa jest trywialna;

\bullet sprawdzić, jak cała sytuacja zachowuje się ze względu na różniczkowanie - na przykład \arctg z jest funkcją wielowartościową, ale po zróżniczkowaniu staje się zwyczajną funkcją \frac{1}{1+z^2};

\bullet przedstawiać f^{-1} jako całkę oznaczoną z pochodnej (f^{-1})' i badać związek krotności funkcji odwrotnej z residuami tejże pochodnej w poszczególnych punktach osobliwych - na przykład zachodzi wzór

\ln z = \int \limits_1^z \frac{1}{\zeta} \, \dd \zeta,

ale ponieważ całka po prawej stronie zależy od drogi całkowania (ze względu na niezerowe residuum w punkcie z=0), to funkcja po lewej stronie jest wielowartościowa; w przypadku kiedy pochodna nie jest funkcją jednoznaczną, tak jak w wypadku funkcji \left( \sqrt{z} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{z}}, należy najpierw nadać sens takiej całce, zdaje się, że trzeba też przedefiniować pojęcie residuum.


Nie znam się szczególnie na tym temacie, więc trudno mi ocenić, czy jest odpowiednio głęboki na pracę magisterską, ale wygląda mi na ciekawy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Stosując metody analizy zespolonej  max123321  1
 Rozwinięcie funkcji zespolonej w szereg potęgowy  malwinka1058  1
 Pole funkcji zespolonej  Bajcepz  5
 Funkcja zespolona zm. zespolonej  joogurcik  4
 Całka krzywoliniowa funkcji zespolonej - zadanie 3  pavel232  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl