szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 2216
Lokalizacja: Kraków
Na ile sposobów można przydzielić do trzech projektów (o numerach 1,2 i 3) czterdziestu rozróżnialnych naukowców (każdy ma zostać przydzielony do dokładnie jednego spośród projektów), tak, aby zarówno w pierwszym jak i w drugim projekcie brał udział co najmniej jeden naukowiec, a w trzecim co najmniej dwóch naukowców?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Z zasady włączeń i wyłączeń mamy, że liczba możliwości przydziału naukowców do projektów tak, by każdy miał przydzielonego co najmniej jednego naukowca wynosi:
3^{40}-3 \cdot 2^{40}+3, ale licząc w ten sposób zliczamy też te możliwości, gdzie w trzecim projekcie będzie przydzielony jeden naukowiec, a w pozostałych dwóch co najmniej jeden, które są złe i które należy odjąć. Tak więc trzeba policzyć na ile sposobów można przydzielić naukowców do projektów tak, aby w trzecim projekcie był dokładnie jeden naukowiec, a w pozostałych dwóch co najmniej jeden. Wybierzmy, więc na jeden z 40 sposobów naukowca do trzeciego projektu. Pozostaje 39 naukowców których trzeba rozdzielić pomiędzy dwa projekty tak by w każdym był co najmniej jeden. Wybierzmy więc jednego naukowca do pierwszego projektu i 38 do drugiego na {39 \choose 1} sposobów, potem dwóch naukowców do pierwszego projektu i 37 do drugiego na {39 \choose 2} sposobów i tak dalej, aż do 38 naukowców do pierwszego projektu i jeden do drugiego. Sumując te wszystkie możliwości można napisać, że jest ich 40\left(  {39 \choose 1}+ {39 \choose 2}+...+ {39 \choose 38} \right), a to się z kolei równa 40\left({39 \choose 0}+  {39 \choose 1}+ {39 \choose 2}+...+ {39 \choose 38}+{39 \choose 39}-2 \right)=40(2^{39}-2). I to trzeba odjąć od tego początkowego wyrażenia, czyli ostatecznie liczba sposobów o które pytają w zadaniu wynosi:
3^{40}-3 \cdot 2^{40}+3-40(2^{39}-2).

Czy tak jest dobrze? Prosiłbym o jakiś komentarz odnośnie tego rozwiązania lub też inne rozwiązanie jeśli to jest niepoprawne.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 00:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13584
Lokalizacja: Wrocław
Wygląda sensownie, tylko drugą część można odchudzić (ale na jedno wychodzi): na {40\choose 1}sposobów wybierasz jednego naukowca do trzeciego projektu, pozostałych przydzielasz do dwóch pierwszych tak, aby żaden nie był nieobsadzony na 2^{39}-2 sposobów: od wszystkich możliwości przydziału 39 naukowców (dla każdego z nich masz dwie możliwości) odejmujesz tę, w której wszyscy zostali przydzieleni do pierwszego i tę, w której wszyscy zostali przydzieleni do drugiego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Na ile sposobów - zadanie 12  blackbird936  9
 Na ile sposobow  maryjusz  1
 Na ile sposobów - zadanie 8  kasiczka15m  1
 Na ile sposobów - zadanie 15  robertos18  7
 Na ile sposobów - zadanie 17  Dario1  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl