szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Witam, krótkie pytanie, czy jeśli mam relację:

R=\left\{  (x,y)  \in  \left\{ 1,2,4,6,8,12,16,32\right\}  : (x|y)\right\}
Wyznacz \sup (4,8,12)

Czy \sup (4,8,12) = 24?

Czy supremum może być spoza podanego zbioru?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 12:58 
Administrator

Posty: 24464
Lokalizacja: Wrocław
matematykapj napisał(a):
R=\left\{  (x,y)  \in  \left\{ 1,2,4,6,8,12,16,32\right\}  : (x|y)\right\}

Ten zapis jest BARDZO niepoprawny.

matematykapj napisał(a):
Czy \sup (4,8,12) = 24?

Nie, bo 24\notin \left\{ 1,2,4,6,8,12,16,32\right\}.

matematykapj napisał(a):
Czy supremum może być spoza podanego zbioru?

Supremum zbioru A nie musi należeć do zbioru A, natomiast musi należeć do zbioru częściowo uporządkowanego, którego podzbiorem jest A.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
A moglby Pan podać przykład kiedy supremum nie bedzie nalezało do A ale bedzie nalezec do zbioru którego podzbiorem jest A?

PS. czemu taki zapis nie jest poprawny?

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 13:40 
Administrator

Posty: 24464
Lokalizacja: Wrocław
Wyznacz supremum zbioru \{4,6\} w swoim przykładzie.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 13:56 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Supremum \{4,6\} = 12.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 14:01 
Administrator

Posty: 24464
Lokalizacja: Wrocław
No właśnie.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
No tak ale przecież 12 \in A
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 15:02 
Administrator

Posty: 24464
Lokalizacja: Wrocław
Uważasz, że 12\in\{4,6\} ?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
No nie, ale nalezy do zbioru na ktorym okreslona była relacja :) czyli supremum musi nalezec do zbioru na ktorym okreslona jest relacja tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 15:44 
Administrator

Posty: 24464
Lokalizacja: Wrocław
matematykapj napisał(a):
No nie, ale nalezy do zbioru na ktorym okreslona była relacja :) czyli supremum musi nalezec do zbioru na ktorym okreslona jest relacja tak?

No przecież Ci napisałem...
Jan Kraszewski napisał(a):
Supremum zbioru A nie musi należeć do zbioru A, natomiast musi należeć do zbioru częściowo uporządkowanego, którego podzbiorem jest A.


matematykapj napisał(a):
PS. czemu taki zapis nie jest poprawny?

Napisałeś

R=\left\{ \red (x,y) \in \left\{ 1,2,4,6,8,12,16,32\right\} \black : (x|y)\right\}

co zupełnie nie ma sensu, bo pary uporządkowane nie mogą należeć do zbioru liczb. Powinno być

R=\left\{ (x,y) \in \left\{ 1,2,4,6,8,12,16,32\right\}^{\red 2} \black : (x|y)\right\}

(choć dla mnie to dość sztuczny sposób definiowania częściowego porządku).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 kwi 2019, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 503
Lokalizacja: Rzeszów
Czasem łatwo wskazać element, ale trudu trzeba zadać aby sprawdzić czy należy on do ustalonego zbioru. Często tak jest stosując lemat Zorna do pewnej rodziny podzbiorów ustalonego zbioru X. Np. dowodząc przy pomocy lematu Zorna twierdzenie o maksymalnym łańcuchu, bierzemy zbiór uporządkowany \left( X,  \le \right), i rozważamy rodzinę \mathbb {B} wszystkich łańcuchów w \left( X, \le \right) uporządkowaną inkluzją, i stosujemy do niej lemat Zorna. W tym celu ustalamy dowolny łańcuch \mathbb{D} \subset \mathbb {B}. Kładziemy \bigcup\mathbb{D} jako ograniczenie górne, ale wpierw musimy niestety pokazać, że \bigcup\mathbb{D} \in \mathbb{B}. (Ograniczenie górne musi być elementem zbioru uporządkowanego, podobnie supremum). Ale to też prosty fakt, że suma rodziny łańcuchów, tak że dla dowolnych dwóch łańcuchów rodziny \mathbb {D} jeden się zawiera w drugim, to wtedy suma rodziny łańcuchów liniowo uporządkowanej przez inkluzję będzie łańcuchem, a więc elementem \mathbb {B}.

Czasami trud sprawdzenia czy ustalony zbiór należy do ustalonej rodziny zbiorów jest o wiele większy- np. dowód że z lematu Zorna wynika twierdzenie Zermelo, znowu łatwo definiujemy zbiór wraz z relacją, ale trzeba sprawdzić niestety czy to jest zbiór dobrze uporządkowany... I to nie jest latwe, że aż ja sam w tym dowodzie (mimo że go wcześniej mniej więcej znałem), to pisząc dokładny dowód w moim Kompendium się trochę zagubiłem...

A to, że supremum nie musi być elementem liczonego zbioru jest bardzo proste, np. zwykły porządek na zbiorze liczb rzeczywistych, wtedy supremum \bigvee \left( 0,1\right)=1 \notin\left( 0,1\right). Podobnie infimum \bigwedge \left( 0,1\right)=0 \notin \left( 0,1\right) .
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Złożenie różnych relacji równoważności będące rel. porządku  vidxl  1
 zaprzeczenie relacji równoważności  Matys015  2
 Udowodnij,że;sprawdzanie własności relacji  kratoz  3
 udowodnienie relacji równoważności..  raphel  0
 Supremum/Infimum  lisixz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl