szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 4 lip 2004, o 08:43 
Użytkownik
Suma długości 2 boków trójkąta równa się 8, a kąt między nimi zawarty \alpha=\frac{2\pi}{3}. Przy jakiej długości boków tego trójkąta jego obwód jest najmniejszy?

tia...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2004, o 10:03 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Mamy dane:
a+b=8
\alpha=\frac{2\pi}{3}

Mamy znaleźć minimalny obwód.

Czyli a+b+c --> minimum.

a=8-b, daltego c+8 --> minimum.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\frac{2\pi}{3}}

\cos{\frac{2\pi}{3}}=\cos{(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{6\pi})}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}

Stąd mamy:

c^2=a^2+b^2+ab

O co dalej ? Jeśli dobry tok myślenia to fajnie tylko nie wiem co dalej z tym zrobić.

Jeśli zły to przepraszam za kłopot.

Ewentualnie można
c^2=b^2-8b+64 jeśli podstawimy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2004, o 12:26 
Gość Specjalny

Posty: 104
Lokalizacja: Śląsk
To teraz moje, nie do końca pewne rozumowanie...

Liczymy pole ze wzoru P=ab\sin{\alpha}

P=ab\sin{\alpha}=(8-b)b\sin{\alpha}=(8b-b^2)\sin{\alpha}

Pochodna z Pola = -2b+8 --> b=4 --> a=4

Później wzór cosinusów i c wychodzi \sqrt{48}

Rozwiązując tak myślałem o tym ze P=pr, a wtedy, żeby pole było najmniejsze to i p musi być najmniejsze. Oczywiście niezbyt mi się podoba moje rozwiązanie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2004, o 12:30 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Ale tu chodzi o obwód, a nie o pole.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2004, o 12:31 
Gość Specjalny

Posty: 104
Lokalizacja: Śląsk
No tak, ale we wzorze na pole masz p, czyli połowe obwodu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2004, o 12:36 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Pewnie dobrze wyszło, bo zauważyłem ze korzystając także z mojego rozumowania minimalny obwód wychodzi dla a=b, czyli a=b=4

Wiedząc. że c^2=a^2+b^2 i a=b=4: c=\sqrt{48}

Więc mamy rozwiązanie :)

PS. Wzór na pole trójkąta to nie P=ab\sin{\alpha}, ale P=\frac{1}{2}ab\sin{\alpha}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Udowodnić, że suma długosci odcinków w trójkącie jes  Vithal  2
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl