szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2007, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 293
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
mam takie zadanko: udowodnij indukcyjnie, że \forall n\in N a to taki przykład:
8|5^{n} + 2 \cdot 3^{n-1} + 1
i ja zaczełem tak to rozwiązywać:
1) sprawdzenie dla n=1 i dla n=2 i się zgadza
2) założenie 8|5^{n} + 2 \cdot 3^{n-1} + 1 \Longleftrightarrow \exists k\in Z 5^{n} + 2 \cdot 3^{n-1} + 1 = 8k
3) teza 8|5^{n+1} + 2 \cdot 3^{n+1-1} + 1
i nie wiem jak zapisać dowód
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2007, o 16:25 
Gość Specjalny

Posty: 2234
Lokalizacja: Warszawa
5^{n+1}+2*3^{n}+1=5*(5^{n})+6*(3^{n-1})+1=3*(5^{n}+2*3^{n-1}+1)+2*5^{n}-2=3*8k+2(5^{n}-1)
Teraz należy jeszcze udowodnić, że:
4|(5^{n}-1)
Korzystając z kongruencji mamy:
5\equiv 1 \ (mod4)
5^{n}-1 \equiv 1^{n}-1 \equiv 0 \ (mod4), co kończy nasz dowód :wink:, bo:
z naszego zapisu wynika, że:
2*(5^{n}-1)=2*4s=8s czyli ostatecznie:
5^{n+1}+2*3^{n}+1=5*(5^{n})+6*(3^{n-1})+1=8k+8s=8(k+s)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2007, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 293
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
a skad sie wzieło s ? i czy nie mógłbyś zapisać to jakoś inaczej bez tego mod bo nie wiem co to jest i tego nie używamy
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2007, o 20:40 
Gość Specjalny

Posty: 2234
Lokalizacja: Warszawa
Mamy tutaj tak jakby "dowód w dowodzie". Może to być dla Ciebie trochę mylące, ale wszystko jest w porządku. Chodzi o to, że w dowodzie dochodzimy do momentu, gdzie należy udowodnić, że 2*(5^{n}-1)=8s, czyli równoważnie, że:
4|(5^{n}-1) Chodzi o to, że nasz dowód zbiega się do tego, aby właśnie udowodnić tą ostatnią podzielność. Tą podzielność udowodniłem właśnie z kongruencji (spójrz do kompendium), ale można także na inny sposób. W tym momencie możesz także użyć indukcji, będzie to rodzaj wtedy "indukcji podwójnej" (tak jak tłumaczyłem, masz dowód w dowodzie)
A więc skoro nie chcesz z kongruencji, to udowodnię tę podzielność z indukcji:
Sprawdzasz dla n=1
Założenie:5^{n}-1+4k
Dowód:5^{n+1}-1=5^{n}*5-1=5*(5^{n}-1)+4=5*4k+4=4(5k+1)=4s
Czyli ostatecznie udowodniliśmy co trzeba było :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2007, o 15:04 
Użytkownik

Posty: 293
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
a jak zrobić taki przykład: 10|3^{4n+2}+1 ??
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność - dowód z indukcji  tomazoo28  1
 Dowód dotyczący liczb fibonacciego przez indukcję  dwukwiat15  6
 dowód indukcyjny - zadanie 12  natalianw  3
 dowód indukcyjny dla rekurencji  loken1d  2
 Dowód indukcyjny - zadanie 67  Olka97  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl