szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2007, o 15:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9
Lokalizacja: 100LICA
Sumę kwadratów 3 kolejnych liczb N począwszy od n zmniejszono o 3n+5. Udowodnij, żę otrzymana liczba jest podzielna przez 6.

Jak jest podzielna, przez 6 to jest przez 3 i 2. Z podzielnością przez 3 nie miałem kłopotu, za to...
Czy to jest dobrze?

x=3(n^{2}+n) - to mi wyszło wcześniej przy udowadnianiu przez 3
2|x  (\exists k\inZ)(3k=x)
2k=3(n^2+n)
k=1.5n^2+1.5n

Zauważam, że z 3 kolejnych liczb co najmniej 1 jest nieparzysta, więc podniesiona do potęgi 2 i pomnożona przez 1.5 da nam liczbę z cyfrą jedności nieparzystą i cyfrą 5 po przecinku. Ta sama liczba tylko pomnożona przez 1.5 da nam liczbę z cyfry jedności parzystą i cyfrą 5 po przecinku. Gdy dodamy do siebie te liczby otrzymamy liczbę z cyfrą jedności parzystą, więc będzie podzielna przez 2.

I jakby ktoś był taki miły i zapisał to w krótszy sposób, bo chciałbym się nauczyć tej Kongruencji, a nie bardzo tu umiałem zastosować. Chyba , ze się nie da... :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2007, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 450
Lokalizacja: Biała Podlaska
3(a+a^{2}) Mamy taką postać najprostszą. Pozostaje rozpatrzyć dwa przypadki, a jest parzyste i a jest nieparzyste.
a=2n \vee a=2n+1\\
Ad 1\\ 3[2n+(2n)^{2}]=3(2n+4n^{2})=6(n+2n^{2})\\
Ad 2\\ 3[2n+1+(2n+1)^{2}]=3(2n+1+4n^{2}+4n+1)=6(3n+1+2n^{2})
Kongruencje
a=2n \vee a=2n+1\\
Ad\ 1\\ 2n^{2} \equiv 0 (mod\ 2)\\
2n \equiv 0 (mod\ 2)\\
3(2n^{2}+2n) \equiv 0 (mod\ 2)\\

Ad\ 2\\ (2n+1)^{2} \equiv 1 (mod\ 2)\\
2n+1 \equiv 1 (mod\ 2)\\
3[(2n+1)^{2}+2n+1]\equiv 0 (mod\ 2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2007, o 15:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9
Lokalizacja: 100LICA
AAA to jeszcze muszę rozpatrzyć n parzyste. OK dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 6 - zadanie 2  monikap7  1
 Reszta z dzielenia wyrażenia przez 43.  Arek Maciejak  1
 róznica kwadratów podzielna przez 8  Martiii  1
 udowodnij że ułamek dzieli się przez 24  zalzal  1
 bardzo latwe liczba + pierwiastek podzielone przez 6  maniacy-gier  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl