szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 6 lip 2004, o 18:22 
Użytkownik
Udowodnić, że \sqrt{3}+\sqrt{5} jest niewymierna.
Góra
PostNapisane: 6 lip 2004, o 21:39 
Użytkownik
Dowod nie wprost:

Zakladamy, ze \sqrt{3} + \sqrt{5} jest liczba wymierna, zatem da sie ja przedstawic w postaci ulamka prostego \frac{p}{q}, gdzie p\in\ZZ (liczby calkowite), q nalezy do naturalnych.

\sqrt{3} + \sqrt{5} = \frac{p}{q} /^2\\
 3 + 5 + 2 \cdot \sqrt{15} = \left( \frac{p}{q}\right) ^2\\
 2 \cdot \sqrt{15} = \left( \frac{p}{q}\right) ^2 - 8 /^2

zaloz : \left( \frac{p}{q}\right) ^2 - 8 >0  \Rightarrow  \left( \frac{p}{q}\right) ^2 > 8

60 = \left( \frac{p}{q}\right) ^4 - 2 \cdot \left( \frac{p}{q}\right) ^2 +64\\
 \left( \frac{p}{q}\right) ^4 - 2 \cdot \left( \frac{p}{q}\right) ^2 + 4 = 0

Rozwiazujemy rownanie podwojnie kwadratowe.
Wyroznik \Delta = 4-16 < 0

Rownanie nie posiada rozwiazania, zatem nie istnieje taka liczba wymiarna, ktorej rownaloby sie wyrazenie
\sqrt{3} + \sqrt{5} = \frac{p}{q}.
sprzecznosc z zalozeniem
Góra
PostNapisane: 6 lip 2004, o 23:38 
Użytkownik
zla delta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2004, o 00:04 
Gość Specjalny

Posty: 1139
Lokalizacja: Kraków
Jak zła, możesz nas oświecić?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lip 2004, o 09:07 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
delta jest dobra, rownanie jest kwadratowe ze wzgledu na \left( \frac{p}{q}\right) ^2. wspolczynnkiki rownania (w kolejnosci) 1, -2, 4. Czepiasz sie gosciu ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2004, o 09:14 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Gość to juz 7dmy post :P nie lepiej sie zarejestrować ?:) zawsze milej sie rozmawia :)
Góra
PostNapisane: 7 lip 2004, o 11:08 
Użytkownik
Cytuj:
Kate napisała:
Dowod nie wprost:
\sqrt{3} + \sqrt{5} = \frac{p}{q} /^2\\ 3 + 5 + 2 \cdot \sqrt{15} = \left( \frac{p}{q}\right) ^2\\ 2 \cdot \sqrt{15} = \left( \frac{p}{q}\right) ^2 - 8 /^2

60 = \left( \frac{p}{q}\right) ^4 - 2 \cdot \left( \frac{p}{q}\right) ^2 +64

jesli podniesiemy 2 \cdot \sqrt{15} = \left( \frac{p}{q}\right) ^2 - 8 do kwadratu to uzyskamy
60=\left( \frac{p}{q}\right) ^4-2 \cdot 8 \cdot \left( \frac{p}{q}\right) ^2+64 i dalej
0=\left( \frac{p}{q}\right) ^4-2 \cdot 8 \cdot \left( \frac{p}{q}\right) ^2 +4 a delta tego rownania jest rowna
16^2-4 \cdot 4=240
Góra
PostNapisane: 7 lip 2004, o 12:11 
Użytkownik
dobra, łapie, ale jak to będzie dla samego \sqtr{5}
Góra
PostNapisane: 7 lip 2004, o 17:11 
Użytkownik
Hej,
przepraszam za pomylke, faktycznie \Delta=240

wtedy \left( \frac{p}{q}\right) ^2 = 8 - 2 \cdot \sqrt{15} (1)
lub \left( \frac{p}{q}\right) ^2 =  8 + 2 \cdot \sqrt{15} (2)

(1) nie spelnia zalozenia zaloz : \left( \frac{p}{q}\right) ^2 - 8 >0  \Rightarrow  \left( \frac{p}{q}\right) ^2 > 8 gdyz
-2  \cdot  \sqrt{15} nie jest > 0, wiec (1) nie jest rozwiazaniem tego rownania.

(2) spelnia powyzsze zalozenie, wiec mamy:
\left( \frac{p}{q}\right) ^2 =  8 + 2 \cdot \sqrt{15}

\frac{p}{q} = \sqrt{ 8 + 2 \cdot \sqrt{ 15}}\\
p= \sqrt{ 8 + 2 \cdot \sqrt{ 15 }}  \cdot  q

Latwo zauwazyc, ze nie istnieje taka liczba naturalna q, ktora po pomnozeniu przez \sqrt{...} daje liczbe calkowita.
Góra
PostNapisane: 7 lip 2004, o 17:22 
Użytkownik
Dla \sqrt{5} ten sam sposob.
Dla dowodu nie wprost zakladamy, ze \sqrt{5} jest liczba wymierna, zatem mozna ja przedstawic jako iloraz dwoch liczb calkowitych \frac{p}{q}.

\sqrt{5} = \frac{p}{q}    /^2\\
5 = \frac{p^2}{q^2}\\
p^2 = 5  \cdot  (q^2)\\
p \cdot p = 5  \cdot  q \cdot q

gdyby p=5 po lewej stronie bylaby parzysta liczba piatek, po prawej nieparzysta.

sprzecznosc
Góra
PostNapisane: 8 lip 2004, o 10:39 
Użytkownik
Cytuj:
gdyby p=5 po lewej stronie bylaby parzysta liczba piatek, po prawej nieparzysta

skąd założenie że p=q=5 i w ogóle że p=q
Góra
PostNapisane: 8 lip 2004, o 18:36 
Użytkownik
Mamy rownosc: p \cdot p=5 \cdot q \cdot q
Poniewaz w sklad iloczynu po stronie prawej wchodzi 5, to w sklad iloczynu po lewej tez musi wchodzic 5, wiec mamy p = 5, 5 \cdot 5=5 \cdot q \cdot q.
Poniewaz po lewej stronie mamy teraz dwie piatki, to q=5.
Po prawej mamy nieparzysta ilosc piatek, po lewej parzysta, sprzecznosc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 2  leszczu450  4
 Udowodnic, ze liczba jest niewymierna  pYroMan  2
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 3  mint18  4
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 5  lolo666  6
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl