szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2007, o 00:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
  1. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia się elipsy x^{2}+4y^{2}=4 z okręgiem o środku w punkcie S(0,-1) i przechodzącym przez ogniska tej elipsy. (5pkt.)
  2. Logarytmy trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny. Suma odwrotności tych liczb równa jest 39. a suma kwadratów odwrotności wynosi 819. Znaleźć te liczby. (5pkt.)
  3. Ciąg \left(a_n\right) jest określony następująco:
    a_{1}=1, \quad a_{n+1}=a_{n}+\tfrac{1}{a_{n}} dla n\geqslant 1.

    Wyznaczyć najmniejszą liczbę dodatnią k taką, że ciąg \tfrac{a_{n}}{n^k} jest zbieżny. Dla tak znalezionego k obliczyć
    \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^k}.
    (6pkt.)
  4. Student zna odpowiedzi na 20 spośród 25 pytań egzaminacyjnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej trzy pytania spośród czterech wybranych losowo? (4pkt.)
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 4 listopada) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: Obrazek według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

:arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2007, o 18:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Tabela wyników:

\begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/6)} & \mbox{Zad. 4 (/4)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & - & - & - & 4 & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{altair3} & - & - & - & 4 & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{robin5hood} & - & 5 & 4 & - & 9\mbox{pkt.}\,\,(45\%) \\
\mbox{Sylwek} & 5 & 5 & - & 2 & 12\mbox{pkt.}\,\,(60\%) \\
\mbox{Szemek} & 4 & - & - & - & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\hline\hline\end{array}


Wybrane nadesłane rozwiązania:
  1. Środek elipsy znajduje się w punkcie E(0,0). Przekształćmy równanie elipsy w ten sposób, aby po prawej stronie była jedynka:
    \frac{x^2}{4}+y^2=1 \\ \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1

    Ponieważ 2>1, to ogniska tej elipsy mają współrzędne P(c, 0) oraz R(-c, 0). Wiemy, że:
    c^2=2^2-1^2, \ \ c>0 \\ c=\sqrt{3}

    Ponieważ |SP|=|SR|, to okrąg zawierający punkt będący jednym z ognisk elipsy, zawiera również drugi punkt będący ogniskiem tej elipsy. Więc:
    (x-0)^2+(y-(-1))^2=r^2 \\ x^2+(y+1)^2=r^2

    A że punkt (\sqrt{3}, 0) należy do tej elipsy, to:
    \sqrt{3}^2+(0+1)^2=r^2, \\ r^2=4 \ \ r>0 \\ r=2

    Rozwiążmy więc układ równań:
    \begin{cases}x^2+4y^2=4 \\ x^2 + (y+1)^2=4 \end{cases}

    Odejmijmy drugie równanie od pierwszego:
    4y^2-(y-1)^2=0 \\ (2y)^2-(y+1)^2=0 \\ (2y-y-1)(2y+y+1)=0 \\ (y-1)(3y+1)=0 \\ y=1 \vee y=-\frac{1}{3}

    Gdy y=1:
    x^2+4 \cdot 1^2=4 \\ x^2=0 \\ x=0

    Gdy y=-\frac{1}{3}:
    x^2+4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2=4 \\ x^2+\frac{4}{9}=\frac{36}{9} \\ x^2=\frac{32}{9} \\ x=\frac{4\sqrt{2}}{3} \vee x=-\frac{4\sqrt{2}}{3}

    Więc szukamy pola trójkąta \Delta XYZ, dla X\left(\frac{4\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right), Y\left(-\frac{4\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}\right), Z(0,1). Ponieważ XY jest równoległy do osi OX, to pole tego trójkąta wynosi:
    P=\frac{1}{2} \left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)\right) \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\left(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{9}

    Odpowiedź: Pole szukanego trójkąta wynosi \frac{16\sqrt{2}}{9} jednostek kwadratowych.
  2. Niech x, y , z - szukane liczby
    Z tego, że logarytmy tych liczb tworzą ciąg arytmetyczny mamy

    \log y= \frac{\log x+\log z}{2}
    y ^{2} =xz

    Dalej

    \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} =39

    \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} =819

    czyli

    \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{z}\right)^2 + \frac{1}{z^2}-2\frac{1}{xz}=819
    \left(39- \frac{1}{y}\right)^2- \frac{1}{y^2}=819
    y= \frac{1}{9}

    zatem

    \frac{1}{x} + \frac{1}{z} =30
    \frac{1}{x^2} + \frac{1}{z^2}=738

    zatem

    x+z= \frac{10}{27}
    xz= \frac{1}{81}

    z tych dwóch równań otrzymujemy

    -x^2+ \frac{10}{27}- \frac{1}{81}=0

    zatem x= \frac{1}{3}  \vee  x= \frac{1}{27}

    Zatem ostatecznie szukane liczby to \frac{1}{3}  ,  \frac{1}{9} , \frac{1}{27}.
  3. Mamy, że a_{n+1}^2=a_{n}^2+\tfrac{1}{a_{n}^2}+2. Ciąg \left(a_{n}\right) jest rosnący, czyli a_{n} \geqslant 1. A zatem gdy n>1, to
    (np. przez indukcję): a_{n}^2=a_{1}^2+ \left(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right) +2(n-1),

    czyli po podzieleniu przez n:

    \frac{a_{n}^2}{n}=\frac{1}{n}+ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right) + \frac{2n-2}{n}=\frac{1}{n}+ c_{n} + \frac{2n-2}{n}.

    Wiemy, że ciąg \tfrac{1}{a_{n}^2} jest zbieżny do zera. Wynika z tego, iż także ciąg

    b_{n}= \frac{1}{n-1}\left(\frac{1}{a_{1}^2}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}^2}\right)

    jest zbieżny do zera - jako ciąg średnich arytmetycznych wyrazów ciągu \tfrac{1}{a_{n}^2}. Także c_n=\tfrac{n-1}{n} b_{n} dąży do zera.
    Ostatecznie ciąg \tfrac{a_{n}^2}{n} jest zbieżny do 2. Tak więc k=\tfrac{1}{2}, a szukana granica to \sqrt{2}.
  4. Liczba zdarzeń sprzyjających:
    \underbrace{C^3_{20}\cdot C^1_5}_{\mathrm{odpowie\ na\ trzy\ pytania}}+\underbrace{C^4_{20}}_{\mathrm{odpowie\ na\ cztery\ pytania}}=\frac{20!}{3!\cdot 17!}\cdot \frac{5!}{1!\cdot 4!}+\frac{20!}{4!\cdot 16!}=\\ \\=5700+4845=10545

    Liczba wszystkich zdarzeń:
    C^4_{25}=\frac{25!}{4!\cdot 21!}=12650

    Prawdopodobieństwo, że odpowie na co najmniej trzy pytania: P=\frac{10545}{12650}=\frac{2109}{2530}.

    Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej trzy spośród czterech wylosowanych pytań wynosi \frac{2109}{2530}.
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Liga 2004] Oceny za zadania  Arek  2
 [Liga maturalna] Seria 1 (24.09.07r.-30.09.07r.), wyniki  bolo  1
 [Liga 2006] Klasyfikacje, oceny, rozwiązania  Arek  6
 [Liga 2004] Klasyfikacje  Arek  0
 [Liga maturalna] Seria 4 (15.10.07r.-21.10.07r.), wyniki  bolo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl