szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 18:38 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Oświęcim
Mam udowodnić, że dla każdeno n:

1) 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!=(n+1)!-1
2) 1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}=2^n-1
3) liczba 9*3^{4n}+1 jest podzielna przez 10
4) liczba 3^{2n+1}+40n-67 jest podzielna przez 64
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 18:53 
Gość Specjalny

Posty: 1144
Lokalizacja: Kraków
Indukcja, indukcja, indukcja...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 20:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Zamiast * można pisać \cdot -> lepiej to IMO wygląda:)

Napisz w czym tkwi problem, a na pewno Ci pomożemy:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 21:56 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
AD 3.

To idzie na kongruencje :). Możemy to zapisać w następujący sposób:

Mamy dowieść, że 10|3^{4n+2}+1

Wiemy, że 3^2\equiv -1 (mod 10)

Podnosimy to do 2n+1 potegi i mamy:

3^{4n+2}\equiv (-1)^{2n+1} (mod 10)

Wiemy, że (bo potęga jest nieparzysta) (-1)^{2n+1}=-1

Więc:

3^{4n+2}\equiv -1(mod 10) \Longleftrightarrow 10|3^{4n+2}+1

C.N.D.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 22:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Zlodiej: To jest pewnie zadanie na zastosowanie indukcji:)

9\cdot 3^{4n}=3^2\cdot 3^{4n}=3^{4n+2}

Teraz to już prosta indukcja, przy założeniu, że twierdzenie zachodzi dla n, zachodzi również dla n+1, czyli:

10|[3^4\cdot (3^{4n+2}+1)-80)], co jest oczywiste:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 22:39 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Tomasz Rużycki,

No nie ma w tresci zadania o tym mowy. Pozatym Skrzypu napisał, że indukcja. Ja tylko chciałem pokazać, że niekoniecznie indukcyjnie to idzie :) ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2005, o 22:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Może jednak ktoś by się ulitował i zamiast prowadzić tak poważne dysputy poprawiłby temat? :evil: Bo to nie tylko podzielność jest...

[ Dodano: Sob Mar 26, 2005 10:49 pm ]
Poprawiłem...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 mar 2005, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Oświęcim
dziękuję za rozwiązanie trzeciego, proszę jeszcze o pomoc w pierwszym i czwartym
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2005, o 13:14 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
No to dalej ...

1/

Z: 1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+ ... + n\cdot n!=(n+1)!-1

T: 1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+ ... + n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+2)!-1

D: L=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+ ... + n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)!(n+2)-1=(n+2)!-1=P

4/

Z: 3^{2n+1}+40n-67=64l_1

T: 3^{2n+3}+40(n+1)-67=64l_2

D: L=9\cdot(3^{2n+1}+40n-67)-320n+536+40=9\cdot 64l_1-320n+576=9\cdot 64l_1-64(5n-9)=64l_2=P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Indukcja Matematyczna [Zadanie]  Caspy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl