szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2007, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zad. 1 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5^{n}(5^{n}+1)-6^{n}( 3^{n}+ 2^{n}) jest podzielna przez 91.

Zad. 2 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n+1)^{2001} + n^{2001} + (n-1)^{2001} - 3n jest podzielne na 10.

Męczyłem się z tymi zadaniami kilka dobrych godzin, ale nie udało się udowodnić.
Byłbym wdzieczny za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2007, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: warszawa
2) rozpisz sobie reszty np zaloz ze n+1 jest parzysta wiec
dla pierwszego wyrazu masz reszty mozliwe 2 4 6 8 teraz analizujac wyrazy zauwarzzasz ze np jak z pierwszego masz reszte 2 to z drugiego masz reszte 1 a z trzeciego 0 z czwartego -3 czyli suma sumarow 0 porob tak wszystkie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2007, o 08:22 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dzięki wielkie teraz sobie z tym poradziłem :)
Pierwsze zadanie udało mi się jakos rozwiązać :)

25^{n} +5^{n} -18^{n} -12^{n} = (25^{n} -18^{n}) + (5^{n} -12^{n}) = (25^{n} -12^{n}) + (5^{n} -18^{n})

Jeżeli liczba dzieli się przez 7 i 13 to jest podzielna przez 91 (7 \cdot 13=91)

Korzystając z indukcji:
dla n=0
25^{0} +5^{0} -18^{0} -12^{0}=2-2=0 Czyli się zgadza.
I Sprawdzamy czy (25^{n} -18^{n}) + (5^{n} -12^{n}) jest podzielne przez 7 (tak na marginesie to jest)
II Sprawdzamy czy (25^{n} -12^{n}) + (5^{n} -18^{n}) jest podzielne przez 13 (to także sie zgadza)
Więc:

25^{n} +5^{n} -18^{n} -12^{n} jest podzielne przez 91 :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność, błąd?  tukanik  2
 Udowodnij, że n! jest podzielny przez sumę  JezuAleNick  8
 udowadnianie podzielności przez trzy  tukanik  9
 przykład liczby naturalnej podzielnej przez...  molus  1
 Przykład z liczbą podzielną przez 16  m-nowakowski05  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl