szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2005, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Zawiercie
1) Oblicz sinus jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 0,4.

2) Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość h i jest pięć razy większa od obwodu tego trójkąta.

3) Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

4) W okrąg o promieniu R=7 wpisano czworokąt ABCD. Oblicz obwód i pole czworokąta wiedząc, że AB=BC, miara kąta ADC=120 stopni i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD równa się 2:1.

Za tipsy i rozwiązania: Big thx from the mountain :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 mar 2005, o 20:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Nieregulaminowy temat. Wątek blokuję.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[ Dodano: Czw Mar 31, 2005 8:35 pm ]
Wątek odblokowałem po zmianie tematu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2005, o 09:46 
Użytkownik

Posty: 545
Lokalizacja: Kraków
Ad 1.
Obrazek
(2\cdot R)^2\,=\,(x+r)^2+(2\cdot R-x+r)^2
x\,=\,\sqrt{(R^2-2\cdot R\cdot r-r^2)}+R
x\,=\,R-\sqrt{(R^2-2\cdot R\cdot r-r^2)}
\sin(\angle{BAC})\,=\,\frac{x+r}{2\cdot R}\,=\,\frac{R-\sqrt{(R^2-2\cdot R\cdot r-r^2)}+r}{2\cdot R}
r\,=\,0.4\cdot R
\sin(\angle{BAC})\,=\,\frac{R-\sqrt{(R^2-2\cdot R\cdot (0.4\cdot R)-(0.4\cdot R)^2)}+0.4\cdot R}{2\cdot R}
\sin(\angle{BAC})\,=\,\frac{R-\sqrt{(\frac{R^2}{25})}+0.4\cdot R}{2\cdot R}
\sin(\angle{BAC})\,=\,\frac{R-\frac{R}{5}+0.4\cdot R}{2\cdot R}
\sin(\angle{BAC})\,=\,\frac{3}{5}

Ad 2
Obrazek
Z wzoru na pole
\frac{1}{2}\cdot h\cdot c\,=\,\frac{1}{2}\cdot a\cdot b
h\,=\,a\cdot \frac{b}{c}
a^2+b^2\,=\,c^2

\frac{a+b+c}{h}\,=\,5
\frac{a}{c}\,=\,\frac{h}{b}
h\,=\,\frac{a+b+c}{5}
\frac{a}{c}\,=\,\frac{a+b+c}{5b}
c\,=\,\frac{\sqrt{(a^2+22\cdot a\cdot b+b^2)}-a-b}{2}
c\,=\,-\frac{\sqrt{(a^2+22\cdot a\cdot b+b^2)}+a+b}{2}
a^2+b^2\,=\,(\frac{\sqrt{(a^2+22\cdot a\cdot b+b^2)}-a-b}{2})^2
a^2+b^2\,=\,(\sqrt{(a^2+22\cdot a\cdot b+b^2)}-a-b)\frac{^2}{4}
\frac{a^2}{b^2}+1\,=\,\frac{(\sqrt{(\frac{a^2}{b^2}+22\cdot \frac{a}{b}+1)}-\frac{a}{b}-1)^2}{4}
t^2+1\,=\,\frac{(\sqrt{(t^2+22\cdot t+1)}-t-1)^2}{4}
t^2+1-\frac{(\sqrt{(t^2+22\cdot t+1)}-t-1)^2}{4}\,=\,0
(t+1)\cdot \sqrt{(t^2+22\cdot t+1)}+t^2-12\cdot t+1\,=\,0
((t+1)\cdot \sqrt{(t^2+22\cdot t+1)})^2
(t^2-12\cdot t+1)^2
((t+1)\cdot \sqrt{(t^2+22\cdot t+1)})^2\,=\,(t^2-12\cdot t+1)^2
(t+1)^2\cdot (t^2+22\cdot t+1)\,=\,(t^2-12\cdot t+1)^2
t^4+24\cdot t^3+46\cdot t^2+24\cdot t+1\,=\,t^4-24\cdot t^3+146\cdot t^2-24\cdot t+1
48\cdot t^3-100\cdot t^2+48\cdot t\,=\,0
4\cdot t\cdot (3\cdot t-4)\cdot (4\cdot t-3)\,=\,0

t\,=\,0
t\,=\,\frac{3}{4}
t\,=\,\frac{4}{3}

Ad 3.
Obrazek
Przez punkty A i C kreślimy półprostą, następnie przez punkt B, prowadzimy prostą równolgłą do
dwusiecznej DC. Otrzymany trójkąt BCE jest prostokątny i równoboczny.
Z twierdzenia Talesa mamy:
\frac{a}{b}\,=\,\frac{x}{y}

Ad 4.
Obrazek
P_{ABD} \,=\,2\cdot \,P_{DBC} \,\Rightarrow \, h_2\,=\,2\cdot h_1
\alpha \,=\,120^{\circ}
\alpha+\beta\,=\,180^{\circ}
\frac{h_2}{a} \,=\,  \sin({60^{\circ}-\beta_1})
2\cdot \frac{h_1}{a}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{(1-(\frac{h_1}{a})^2)}-\frac{1}{2}\cdot (\frac{h_1}{a})
2\cdot \frac{h_1}{a}+\frac{1}{2}\cdot (\frac{h_1}{a})\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{(1-(\frac{h_1}{a})^2)}
5\cdot \frac{h_1}{2\cdot a}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{(1-(\frac{h_1}{a})^2)}
(5\cdot \frac{h_1}{2\cdot a})^2\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{(1-(\frac{h_1}{a})^2)})^2
25\cdot \frac{h_1^2}{4\cdot a^2}\,=\,3\cdot \frac{a^2-h_1^2}{4\cdot a^2}
h_1\,=\,\frac{\sqrt{21}\cdot a}{14}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2005, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Zawiercie
Dziękuje ale nie bardzo łapie o co chodzi w 4.Przyznam że nie spotkałem się z wzorem redukcyjnym typu sin(60-B).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2005, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 545
Lokalizacja: Kraków
sin(x-y) = sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)
Podstaw za x \,=\, 60^{\circ} a y \,=\, \beta
Ponieważ
\angle{ABC}= 60_o
trójkąt ABC jest równoboczny.
r = \frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}a
stąd mamy a. Kąt
\angle{ADB}=\angle{ACB}= 60^o =\angle{BDC}
W trójkącie DBC znamy dwa kąty i bok a. To samo w ABD.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz pola kół wpisanych w trójkąty prostokątne  Anonymous  10
 (2 zadania) Oblicz stosunek dł. cięciw. Oblicz pole trój  Anonymous  11
 (3 zadania) Obliczyć wysokości trójkąta, długość bok  mariusz18  2
 (3 zadania) Oblicz długość wysokości trójkąta. itd.  Anonymous  1
 (3 zadania) Oblicz pola trójkątów. Wykaż, że ...  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl