szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Podkarpacie
Mam problem z takimi podzielnościami:
1. Wykaż, że liczby:
a) 17^{5}+24^{4}-13^{21}
b) 2^{16}+3^{40}+5^{35}+2*4^{7}
są podzielne orzez 10.
oraz
2. Wykaż, że:
a) 57|7^{15}- 1
b) 11|3^{15}- 1

Nie zależy mi, aby ktoś mi całkiem rozwiązał te zadania, tylko - na ile to możliwe - wytłumaczył, jak się tego typu zadania rozwiązuje, bo mam z nimi dość duży problem ;-(
Z góry dziękuję za każdą pomoc w tłumaczeniu =)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 15:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 54
Lokalizacja: Biłgoraj
W zadaniu 1 trzeba zauwazyc pewna rzecz. Liczby dzielne przez 10 to takie, których ostatnia cyfra jest równa 0, więc aby udowodnic ze podana liczba jest podzielna przez 10 musimy sprawdzic czy ostatnia cyfra danej liczby jest rowna 0. Nie obchodza nasz tysiace i dziesiątki, należy skupi sie na liczbie jedności.

Należy zauwazyc pewna zaleznosc:

7^{1} =7
7^{2} =49
7^{3} =63
7^{4} =...1
----------------------------------------
7^{5} =...7
7^{6} =...9
...

Wiec ostatnia cyfra potegi liczby, gdzie ostatnia cyfra jest 7 (w tym przypadku 17) zmienia sie co 4 potegi.
Jeżeli mamy 5 potegę to ostatnią cyfrą jest 7, jeżeli 6 potegę ostatnią cyfrą jest 9 i.t.d.

Tak samo robimy w przypadku liczby 24 (czyli dla 4) oraz dla 13 (czyli dla 3)

3^{1} =3
3^{2} =9
3^{3} =27
3^{4} =81
------------------------------------
3^{5} =...3
3^{6} =...9
...

Co cztery potegi zmienia sie ostatnia cyfra, potega jest rowna 21 wiec nalezy wykonac:
21:4=5 r.1
czyli ostatnia cyfra bedzie ostatnia cyfra 1 potegi (3)
otrzymamy :
....7 + ....6 - ....3 = ....3 - ....3 = ....0
czyli jest podzielna przez 10

Spróbuj to wszystko spokojnie przeanalizowac.Mam nadzieje ze zrozumiale i sobie poradzisz z 2 przykladem, w razie czego pytaj.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Podkarpacie
Mistermasyl dziękuję Ci bardzoo za pomoc ;-) zrozumiałam to w zadaniu 1, ale w 2 zadaniu jakoś nie potrafię tego zastosować ... Mógłbyś jeszcze mnie jakoś naprowadzić na rozwiązanie drugiego zadania? Jakieś wskazówki i rady? Bo w tym drugim to nie wiemy przecież jaka ma być ostatnia cyfra żeby liczba była podzielna przez 57 i 11 ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 17:01 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ja Ci radzę zapoznać się z kongruencjami (jest w naszym kompendium).
np.
w drugim w punkcie a)
Zauważamy, że:
7^{3}\equiv 1 \ (mod57)
czyli:
(7^{3})^{5}-1\equiv 1^{5}-1 \equiv 0 \ (mod57) co kończy zadanie:
punkt drugi robi się podobnie zauważając, że 3^{5}\equiv 1 \ (mod11) :wink:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Podkarpacie
Dzięki polskimisiek za pomoc ;-) wprawdzie nie rozumiem tej całej kongruencji - próbowałam coś o niej poczytać, ale to nic nie dało (może w szkole będę to przerabiac =)) - ale dzięki za zainteresowanie zadaniami ;-) pzdr
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 róznica kwadratów podzielna przez 8  Martiii  1
 podzielność przez 200  szumek1991  1
 Podzielność liczby całkowitej przez 3  shep4rd  2
 Podzielność przez 21 - zadanie 3  kingula  1
 podzielność liczb - zadanie 27  kamil2227  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl