szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:14 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zewsząd
W jaki sposób można wykazać że

jeśli suma cyfr liczby a jest podzielna przez 9 to liczba jest podzielna przez 9

ale bez użycie kongruencji?
Z góry dzięki za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:16 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ja bym raczej postulował, że kongruencjami tylko się da :wink: (przynajmniej elegancko)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zewsząd
no wiadomo że elegancko, ale sęk w tym aby jej nie użyć :P
Jakieś pomysły?
próbowałem z rozbiciem liczby a na



a_{n} *   10^{n-1} + a_{n-1} *   10^{n-2} + ... +  a_{1}


ale nic mi nie wychodzi...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:28 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
No, właściwie to się da bez kongruencji. (po prostu w moim odczuciu jest bardziej elegancko)
Rozwiązanie bez kongruencji (byłeś blisko).
Nasza liczba jest postaci:
a_{n} * 10^{n-1} + a_{n-1} * 10^{n-2} + ... + a_{1}=(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})+((10-1)a_{2}+(10^{2}-1)a_{3}+...+(10^{n-1}-1)a_{n})
i teraz po prostu prawy nawias dzieli się zawsze przez 9, bo:
10\equiv 1 \ (mod9) (tą jedną kongruencję można zastąpić komentarzem, dlaczego zawsze 10^{k}-1 jest podzielne przez 9 :wink: )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zewsząd
hehe, dobre! a co ty na to:

Reszta z dzielenia przez 9 liczby postaci a_{n} *  10^{n-1} jest taka sama co reszta z dzielenia a_{n} przez 9. Tak więc

a =  a_{n} *  10^{n-1} + a_{n-1} *  10^{n-2} + ... +  a_{1} = (9 * k) + (a_{n} +a_{n - 1} + ... + a_{1} )

Oba nawiasy są podzielne przez 9 z definicji. przejdzie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:41 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Hmm, tu przydałby się jeszcze komentarz dlaczego właśnie tak jest z tymi resztami (co notabene z powrotem sprowadza się do udowodnienia, że 9|10^{k}-1)
Najłatwiej to udowodnić tak jak proponowałem, a komentarz może wyglądać dwojako:
1) dowód przez indukcję
2) 10^{k}-1=(10-1)(10^{k-1}+10^{k-2}+...+1) :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2007, o 22:50 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Zewsząd
dzięki bardzo, masz u mnie "pomógł"!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowdnić podzielność  RyHoO16  7
 Udowodnić podzielnośc wyrażeń przez liczby  Aldo  8
 Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 36  enigma  1
 udowodnij podzielnośc - zadanie 21  Mixture00  2
 Liczba podzielna przez 31  Wiesiek7  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl