szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2007, o 21:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1822
Lokalizacja: WLKP
ZAD.1.
A)1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+...+ \frac{1}{ n^2 } \leqslant 2-\frac{1}{n}

B)\frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \frac{1}{n+3}+ ... + \frac{1}{3n+1} \geqslant 1

ZA wszelką pomoc wielkie ThX.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2007, o 23:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 54
Lokalizacja: Biłgoraj
Z: 1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}}\leqslant2-\frac{1}{k}
Z: 1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}}\leqslant\frac{2k-1}{k}


T: 1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}} 
+\frac{1}{(k+1)^{2}}\leqslant2-\frac{1}{k+1}
T:1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}} \leqslant2-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{(k+1)^{2}}
T:1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}} \leqslant\frac{2k+1}{k+1}-\frac{1}{(k+1)^{2}}
T:1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}} \leqslant\frac{(2k+1)\ast(k+1)}{(k+1)^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}}
T:1+\frac{1}{2^{2}} +... +\frac{1}{k^{2}} \leqslant\frac{2k^{2}+3k}{(k+1)^2}

D:\frac{2k-1}{k}\leqslant\frac{2k^{2}+3k}{(k+1)^2}
D:(2k-1)\ast(k+1)^2}\leqslant2k^{3}+3k^{2}

...

2k^{3}+3k^{2}-1\leqslant2k^{3}+3k^{2}


Mam nadzieje ze sie w niczym nie pomylilem...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lis 2007, o 23:14 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
w drugim dam sam dowód:
\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}\geq \frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}+1-\frac{1}{n+1}
żeby dowód był prawdziwy należy udowodnić, że:
\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}
Łatwo to równoważnie przekształcić do postaci:
\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+4}\geq \frac{2}{3}*\frac{1}{n+1}
Kontynuując przekształcenia otrzymamy równoważnie:
\frac{1}{n+\frac{2}{3}}+\frac{1}{n+\frac{4}{3}}\geq \frac{2}{n+1}
Skorzystamy tutaj ze znanej nierówności (prosty dowód opiera się na nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a harmoniczną):
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}
Stosując do naszej nierówności:
\frac{1}{n+\frac{2}{3}}+\frac{1}{n+\frac{4}{3}}\geq \frac{4}{(n+\frac{2}{3})+(n+\frac{4}{3})}=\frac{4}{2n+2}=\frac{2}{n+1}, co kończy dowód nierówności i tym samym dowód indukcyjny :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2007, o 20:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1822
Lokalizacja: WLKP
Dzięki ci bardzo(nawet pojąłem) a mógłbyś przedstawić całe rozwiązanie był bym bardzo wdzięczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2007, o 20:53 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
No, to jest całe rozwiązanie. Jeszcze trzeba wcześniej sprawdzić dla n=1
potem:
Założenie:
(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}\geq 1) \iff (\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1} \geq 1-\frac{1}{n+1}) :wink:
Teza jest zawarta w dowodzie :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Najmniejsza wspólna wielokrotność-dowód.  hUmanitO  8
 okreslenie znaku nierownosci  arigo  7
 indukcja-dwie nierownosci  Anonymous  1
 Przeprowadź dowód indukcyjny nierówności  Anonymous  15
 Dowód indykcyjny permutacji bez powtózeń  noiprox  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl