szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2007, o 16:07 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Rzeszów
Dzisiaj sie odbył etap finałowy XXIII konkursu matematycznego im J. Marszała w Łańcucie.
Oto zadania. Czas: 150min.

1. Dla jakich wartości x,y spełniona jest nierówność: 2-x^2-y^2-\sqrt{(1-x^2)^2+(1-y^2)^2}>0 ?
2. W czworokącie wypukłym ABCD przekątne przecinają sie w takim punkcie P, ze pola trójkątów ABP i CDP są równe. Wykazać, że czworokąt jest trapezem.
3. Wykazać, że jeżeli liczby \alpha, \beta są różnymi pierwiastkami równania x^4+bx^3-1=0, gdzie b\in R, to liczba \alpha\cdot\beta jest pierwiastkiem równania x^6+x^4+b^2x^3-x^2-1=0

Zapraszam do rozwiązywania zadań. jeśli można to proszę o umieszczenie rozwiązań pod spodem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2008, o 05:31 
Użytkownik

Posty: 659
Lokalizacja: Strzyżów
Z którego poziomu sa te zadania? Z drugiego czy trzeciego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2008, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Dębica
z trzeciego bo ja pisałem drugi i były inne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2008, o 16:41 
Użytkownik

Posty: 2001
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
pierwsze jest dosyć proste
2-x^2-y^2=(1-x^2)+(1-y^2)> \sqrt{(1-x^2)^2+(1-y^2)^2} \geqslant 0
czyli warunkiem koniecznym dla poprawności rozwiązania jest spełnienie nierówności
x^2+y^2 czyli w układzie współrzędnych rozwiązania leżą wewnątrz koła o środku w początku ukł. współrzędnych i promieniu \sqrt{2}, ale nie na jego obwodzie.
teraz mamy:
(1-x^2)+(1-y^2)> \sqrt{(1-x^2)^2+(1-y^2)^2}
obie strony możemy podnieść do kwadratu:
(1-x^2)^2+(1-y^2)^2+2(1-x^2)(1-y^2)>(1-x^2)^2+(1-y^2)^2
(1-x^2)(1-y^2)>0
czyli
\begin{cases} 1-x^2>0 \\ 1-y^2>0 \end{cases}
lub
[Blad w formule, skoryguj!]
rozwiązujesz, uwzględniasz (*) i masz rozwiązanie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2008, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 547
Lokalizacja: Bielsko-Biała
2.
P \Delta ABP = P \Delta DCP
P \Delta ABP + P \Delta BPC = P \Delta DCP + P \Delta BPC
P \Delta ABC = P \Delta BDC
zatem odległość punktu A i punktu D od prostej BC jest taka sama, czyli AD||BC C.N.D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2008, o 00:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Ostatnio przeglądam te tematy konkursowe i tak natrafiłem na ten. Czy gdzieś znajdują się rozwiązania firmowe do tych zadań? W szczególności interesowałaby mnie elegancka metoda rozwiązania zadania trzeciego. No dobrze, może być jakakolwiek, bo się męczę i wyjśc mi nie chce :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 13:36 
Użytkownik

Posty: 659
Lokalizacja: Strzyżów
Mógłby ktoś dołaczyć zadania z finału dla klasy 2 i 1.
Dzięki;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2008, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Inf@EAIiE@AGH@KRK
Zadanko trzecie:

Mamy dane:
\alpha^4+b\alpha^3-1=0
\beta^4+b\beta^3-1=0
\alpha \neq \beta

Zero nie jest pierwiastkiem równania x^4+bx^3-1=0, a zatem: \alpha \neq 0 \wedge \beta \neq 0

Korzystając z tego możemy wyliczyć:
b = {1-\alpha^4 \over \alpha^3} = {1-\beta^4 \over \beta^3}

Przerabiamy powyższą równość i otrzymujemy:
\beta^3-\alpha^4\beta^3=\alpha^3-\beta^4\alpha^3
\alpha^3-\beta^3+\alpha^4\beta^3-\beta^4\alpha^3=0
(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+\alpha^3\beta^3)=0
Korzystając z faktu \alpha \neq \beta mamy:
\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+\alpha^3\beta^3=0
\alpha^3\beta^3+\alpha\beta=-\alpha^2-\beta^2
Podnosimy obustronnie do kwadratu i mamy:
\alpha^6\beta^6+2\alpha^4\beta^4+\alpha^2\beta^2=\alpha^4+2\alpha^2\beta^2 +\beta^4
Przerabiamy:
\alpha^6\beta^6+\alpha^4\beta^4+(1-\alpha^4-\beta^4+\alpha^4\beta^4)-\alpha^2\beta^2-1=0
\alpha^6\beta^6+\alpha^4\beta^4+(1-\alpha^4)(1-\beta^4)-\alpha^2\beta^2-1=0

\alpha^6\beta^6+\alpha^4\beta^4+{1-\alpha^4 \over \alpha^3}\cdot {1-\beta^4 \over \beta^3}\cdot \alpha^3\beta^3-\alpha^2\beta^2-1=0

(\alpha\beta)^6+(\alpha\beta)^4+b^2(\alpha\beta)^3-(\alpha\beta)^2-1=0

CBDU
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki  yorgin  0
 Alfik Matematyczny 2013  Jersz  1
 Konkurs Matematyczny "Kwadratura Koła"  JA1996  0
 Alfik Matematyczny 2008  Sylwek  66
 konkurs maturalny "soowa"  StefanAg  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl