szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2007, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Warszawa
Przepraszam za pomylke, poprawilem tresc zadania. Wyglada tak:

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n, 3^{4n+2} + 1 jest podzielne przez 10.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2007, o 17:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Sposób pierwszy:
Wykażemy tę podzielność indukcyjnie.
1. Spr. dla n=1:
3^{4 \cdot 1+2}+1=3^6 +1=729+1=730=10 \cdot 73
2. Zał. ind.: 3^{4k+2}+1= 10s, s \in \mathbb{N}
Teza ind.: 3^{ 4(k+1) +2}+1 = 10s', s' \in \mathbb{N}
D-d:
3^{ 4(k+1) +2}+1=3^{4k +4 +2} + 1= 3^4 \cdot 3^{4k+2} +1=81 \cdot 3^{4k+2} +1= 80 \cdot 3^{4k+2} + 3^{4k+2} +1= 80 \cdot 3^{4k+2} + 10s=10( 8 \cdot 3^{4k+2} +s)=10s'
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana podzielność jest prawdziwa dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej.

Sposób drugi:
Korzystając z kongruencji mamy:
3^4 = 81 \equiv 1 ( \mod 10) \\ 3^{4n} \equiv 1 (\mod 10) \\ 3^{4n+2} \equiv 1 \cdot 3^2=9 ( \mod 10) \\ 3^{4n+2} + 1 \equiv 9+1 =10 \equiv 0 ( \mod 10)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij podzielnosc - zadanie 2  bignes  1
 udowodnij podzielność  Lotos  4
 udowodnij podzielnośc - zadanie 21  Mixture00  2
 Udowodnij podzielność - zadanie 2  bifowa  4
 Udowodnij podzielność - zadanie 24  Tomaszekk97  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl