szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2007, o 12:00 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Frankfurt / Main
Proszę o pomoc z zadaniem z którym sobie nie umiem poradzić... Niestety nie może być rozwiązane z użyciem kongruencji.

Wykaż, że dla każdej liczby n \in \mathbb{N} liczba 2^{4n+1}+3^{4n+1} jest podzielna przez 5.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2007, o 12:07 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Kruszyny
2^{4n+1}+3^{4n+1}=(2+3)*(2^{4n}-2^{4n-1}*3+....+3^{4n})
Rozłożyłem po prostu tą sumę na iloczyn
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2007, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 3506
Lokalizacja: Brodnica
Dowód indukcyjny;
1. n=0,

Liczba:
2^{4 \cdot 0+1}+3^{4 \cdot 0+1}=2+3=5
jest podzielna przez 5.

2.
Założenie indukcyjne:
\exists_{k\in N}2^{4n+1}+3^{4n+1}=5k \ \  \Rightarrow 2^{4n+1}=5k-3^{4n+1}

Teza indukcyjna:
\exists_{l\in N} 2^{4n+5}+3^{4n+5}=5l

Dowód tezy indukcyjnej:
2^{4n+5}+3^{4n+5}=2^4 \cdot 2^{4n+1}+3^{4n+5}=16(5k-3^{4n+1})+3^{4n+5}= \\ =80k-16 \cdot 3^{4n+1}+81 \cdot 3^{4n+1}=80k+65 \cdot 3^{4n+1}=5(16k+13 \cdot 3^{4n+1})
co należało udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2007, o 12:16 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Frankfurt / Main
ale ja momentami jestem tępy :mrgreen:
dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 24 - zadanie 9  push  2
 podzielność iloczynu liczb  Andreas  8
 Podzielność przez 11 - zadanie 16  Rados  4
 Podzielność wyrażeń przez 6 i 8.  Michal99  5
 Podzielność liczby - zadanie 7  misio_klb  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl