szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2007, o 21:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
Zadanie 1.

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego jest cztery razy krótsza od przeciwprostokątnej. Znajdź kąty tego trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2007, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 3426
Lokalizacja: Szczecin
oznacz boki przez a,b--> przyprostokatne, 4x --> przeciwprostokatna

x --> wysokosc opuszczona z kata prostego na przeciwprostokatna

i zapisz z tw Pitagorasa powstale zaleznosci
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2007, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
A co mi da to, że wyznaczę (4x) ^{2} =a ^{2} + b^{2}   \Rightarrow  16x ^{2} =a ^{2}+ b^{2}
x ^{2}  + y(4x ^{2})=a^{2}
x ^{2}  + z(4x ^{2})=b^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2007, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 3426
Lokalizacja: Szczecin
jest jeszcze pewnie 4 zaleznosc i wtedy uklad rownan 4 niewiadome
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2007, o 16:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
Hmm... sushi a mógłbyś mi napisać resztę zależności.

Proszę o pomoc;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2007, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 3903
Lokalizacja: Warszawa
x^2 = y(4x-y), gdzie y to część przeciwprostokątnej podzielonej na dwie części przez wysokość.
Chyba jednak zrobię całe.
Z twierdzenia sinusów:
\frac{4x-y}{sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \frac{x}{sin\alpha}
Korzystając z wzoru na górze:
tg\alpha = \frac{y}{x}
Z twierdzenia Pitagorasa:
a^2+b^2=c^2=16x^2
x^2+y^2=a^2=16x^2-b^2
b^2=(4x-y)x \Rightarrow y^2+x^2=16x^2-x^2-16x^2+8xy-y^2
2x^2-8xy+2y^2=0  \Leftrightarrow x^2-4xy+y^2=0
Potraktujmy y jako stałą, by wyznaczyć x w zależności od y:
x = \frac{4y \pm \sqrt{16y^2 - 4y^2}}{2} = (2 \pm \sqrt{3})y
Mamy więc dwa wyniki.
tg\alpha = \frac{y}{(2 \pm \sqrt{3})y}=2  \mp \sqrt{3}
O ile się nie mylę, to gdy tgx= 2+\sqrt{3}, to tg(\frac{\pi}{2} - x) = 2-\sqrt{3}, więc jest to w obu przypadkach ten sam wynik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2007, o 22:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
Da się rozwiązać to zadanie bez używania funkcji trygonometrycznych tj. na poziomie gimnazjum? Jeśli tak proszę o kilka wskazówek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 gru 2007, o 22:33 
Użytkownik

Posty: 3903
Lokalizacja: Warszawa
Żeby znaleźć kąty z długości boków to trzeba korzystać z funkcji trygonometrycznych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2007, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
muszkatek napisał(a):
Da się rozwiązać to zadanie bez używania funkcji trygonometrycznych tj. na poziomie gimnazjum?

Tak zupełnie bez używania funkcji trygonometrycznych, to myślę, że może być ciężko, ale da się zrobić prościej niż wcześniej proponowano (do tego uzyskując konkretny wynik ;) ). Jedyne co trzeba znać, to wzór na pole trójkąta: S =  \frac{1}{2}ab \sin \gamma.

Nazwijmy nasz trójkąt ABC (gdzie A to wierzchołek kąta prostego), spodek wysokości na przeciwprostokątną oznaczmy przez D, natomiast środek przeciwprostokątnej przez O. Oznaczmy miarę kąta AOB przez \alpha. Niech będzie też \left| AD \right| = a. Wówczas:
\left| BC \right| = 4a \\
 \left| OA \right| =  \left| OB \right| =  \left| OC \right| =2a

Oczywiście jest:
S_{ABC} = 2  \cdot  S_{AOB} (jeśli nie oczywiście, to do przemyślenia ;) )
Mamy:
S_{ABC} =  \frac{1}{2}  \left| AD \right| \left| BC \right| = \frac{1}{2} a  \cdot  4a = 2a^2
S_{AOB} = \frac{1}{2} \left| OA \right| \left| OB \right| \sin \alpha = \frac{1}{2} 2a  \cdot  2a \sin \alpha = 2a^2 \sin \alpha
Stąd:
2 \cdot  a^2 = 2  \cdot  2  \cdot a^2 \sin \alpha, czyli \sin \alpha =  \frac{1}{2}, czyli \alpha = 30, a z tego już łatwo obliczyć kąty naszego trójkąta (wyjdzie: 15, 75, 90).

Pozdrawiam.
Qń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2007, o 07:34 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Da się. Tylko trzeba być "hieną" i wykorzystać owoce cudzej pracy. W moim przypadku ofiarą stał się Kolega Qń, który wyliczył kąty trójkata. Ja tylko wiedziałem, że chyba już w szkole podstawoej nauczają, że w jeżeli w trójkącie prostokatnym przyprostokątna jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt leżący naprzeciwko niej ma 30 stopni (ilustrują to dzieląc wysokością trójkąt równoboczny). Będę się trzymał oznaczeń Kolegi Qń'-ia.

Wierzchołek przy którym leży większy kat oznaczam B.Wtedy w trójkącie prostokatnymADO mam z danych zadania |AD|=a a z faktu, że O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym (co zauważył kolega Qń) |OA|=|OB|=|OC|=2a. Stąd na podstawie powyższego twierdzenia kąt DOA ma 30 stopni.

Pozostaje tylko wykazać, że ten kąt jest dwa razy większy od kąta BCA.. Można to zrobić np. tak:
W trójkącie równoramiennym AOC o podstawie AC kąt CAO równa się kątowi OCA. Stąd oraz z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie i danych zadania kąt AOC jest dwa razy większy od kąta ABC i dalej z twierdzenia o katach przyleglych i danych zadania kąt BOA jest dwa razy większy od kąta BCA. (Najłatwiej to zauważyć na rysunku).

Mam nadzieję, że w żadnym miejscu się nie "przeliterowałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2007, o 13:09 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rzeczywiście, to o wiele bardziej elegancki sposób na wyznaczenie miary kąta DOA (czy też BOA jak kto woli). Wspólnymi siłami doszliśmy więc chyba do optymalnego rozwiązania ;).

Pozdrawiam.
Qń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2007, o 16:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
Jankos myślę, że twój sposób jest najbardziej odpowiedni;) więc dostajesz +. Dzięki za pomoc.
Qn plus za to ze naprowadziłeś mnie i Jankos'a na trop;). Wasilewski też dzięki ale może jak będę w liceum to bym wiedział o co chodzi :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 22 gru 2007, o 17:27 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: kutno
przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 3cm i 5 cm. trojkat do niego podobny w skali k=6 ma przyprostokątną długości......... jak obliczyc to zadanie z gory dziekuje za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2007, o 17:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
palina5 napisał(a):
przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 3cm i 5 cm. trojkat do niego podobny w skali k=6 ma przyprostokątną długości......... jak obliczyc to zadanie z gory dziekuje za pomoc :)


Nowy temat sobie załóż... ale skoro piszesz tu no to Ci odpowiem.

Wylicz przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa a ^{2}+b ^{2}  = c ^{2}
Pomnóż wynik przez 6 i masz wynik ;).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 paź 2012, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: poniec
Witam!!!
Mam trójkąt prostokątny i następujące dane:
przyprostokątne 86 i 177 i mam obliczyć kąt przeciwległy krótszej przyprostokątnej. jak to obliczać?
Proszę o pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 znajdź kąty trójkąta  marines2  0
 Kąty - trójkąt wpisany w okrąg  Miskov  0
 trójkąt pitagorejski - zadanie 5  malowana  1
 Trójkąt równoramienny, środkowe  technikmaliniak  2
 Przyprostokatne/przeciwprostokatna/półkola  Grzech411  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl