szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2007, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: grodzisk maz
witam, mam zadanko, wyznacz wszystkie grupy 3 elementowe... nie bardzo wiem jak sie za to zabrac.. pytanie z innej beczki, ale troche nawiazujace do tego zadania: mam sobie tabelke, i sprawdzic, czy jest to działanie grupy:
. e a b c
e e a b c
a a c e b
b b e c a
c c b a e

element e jest neutralny, dzialanie jest okreslone w zbiorze, jest przemienne (symetria), kazdy element ma element odwrotny.. no i co do lacznosci, sprawdzilem z 10 przypadkow, caly czas mi wychodzi, ze jest laczne, nie bardzo chce mi sie sprawdzac wszystkie 64 przypadki, musi byc na to jakis madrzejszy sposob... czy jest cos takiego, ze np moznaby bylo w jakis sposob wyznaczyc wszystkie grupy 4. elementowe i pokazac, ze to jest jedna z nich (badz nie jest). dzieki, pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2007, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli miałeś tw. Lagrange'a, to z niego łatwo wynika, że rząd każdego elementy dzieli rząd grupy, a stąd z kolei wynika, że grupa rzędu będącego liczbą pierwszą musi być cykliczna. Ergo: jedyną grupą 3-elementową jest \mathbb{Z}_3.

Jeśli nie miałeś, to można wykazać to ręcznie. Niech G=\{ e,a,b \}. Zauważmy, że a^2 nie może być równe ani a, ani e (dlaczego? - ćwiczenie ;) ) , zatem a^2=b, jest to więc grupa cykliczna, czyli \mathbb{Z}_3.

A w drugim zadaniu wystarczy zauważyć, że ten twór jest izomorficzny z \mathbb{Z}_4 (z dodawaniem). Przy okazji, nawiązując do pytania: jedyne grupy 4-elementowe to \mathbb{Z}_4 i \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.

Pozdrawiam.
Qń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2007, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: grodzisk maz
ok, dzieki za pomoc. tylko powiedz mi jeszcze jaki tu jest izomorfizm z Z4?

[ Dodano: 29 Grudnia 2007, 17:45 ]
ok, widze. tylko trzeba zamienic b z c, dzieki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2018, o 21:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
Qń napisał(a):
Zauważmy, że a^2 nie może być równe ani a, ani e (dlaczego? - ćwiczenie ;) ) , zatem a^2=b


Mógłbym prosić o wyjaśnienie?
Dlaczego a nie może być elementem odwrotnym dla samego siebie? Wtedy a^2 = e
I z czego wynika, że nie może być także równy a?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2018, o 22:23 
Użytkownik

Posty: 12935
Skoro grupa jest trójelementowa, to e,a,bparami różne. Niech e - element neutralny.
Przypuśćmy nie wprost, że a^2=e, wtedy
b=a^2b=a(ab)
z łączności. Oczywiście ab \in G z zamkniętości G na działanie grupowe, więc mamy następujące możliwości:
1) ab=e, wtedy otrzymaliśmy z własności elementu neutralnego
b=a(ab)=a, sprzeczność.
2) ab=a, wtedy
b=a(ab)=aa=a^2=e, sprzeczność.
3) ab=b, wtedy
eb=b=a(ab)=ab, z prawa skreśleń e=a, sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2018, o 08:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 351
Dziękuję!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rządem grupy R  aska2764  1
 opisac grupy generowane  bogus89  0
 Podgrupy grupy liczb rzeczywistych  Kanodelo  1
 podgrupa grupy abelowej jest dzielnikiem normalnym  leszczu450  12
 Automorfizmy wewnętrzne grupy  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl