szukanie zaawansowane
 [ Posty: 23 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2008, o 09:30 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Lodz
Witam! Bardzo proszę o pomoc z tymi zadaniami, z góry dzięki :)

1. Wykaż, że wśród n+1 liczb całkowitych zawsze można znaleźć dwie, których różnica jest podzielna przez n.
2. Spośród liczb 1,2,3,...,199,200 wybrano 201 liczb. Wykaż, że wśród wybranych liczb istnieją dwie takie, że jedna dzieli drugą.
3. Wykaż, że dla dowolnej liczby n istnieje liczba zapisana tylko przy pomocy zer i jedynek, która dzieli się przez n.
4. Uzasadnij, że spośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 zawsze można wybrać dwie, których różnica dzieli się przez 5.
5. Na odcinku [0,1] leży dziewięć różnych punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów, są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż \frac{1}{8} .
6. W kwadracie o boku długości 2 leży pięć punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów, są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż \sqrt{2} .
7. Spośród liczb: 1,2,3,...,199,200 wybrano 101 liczb. Dowieść, że wśród wybranych liczb są dwie kolejne liczby.
8. Dany jest zbiór liczb naturalnych 101,102,103,...,9999,10000. Ile jest wśród nich liczb, które są podzielne przez 7 lub przez 6 lub przez 48.
9. Na ile sposobów można utworzyć 3 jedenastki piłkarskie spośród 33 zawodników?
10. Ile jest n-cyfrowych liczb, których suma cyfr równa jest 2?
11. Ile jest 6-ciocyfrowych liczb, których suma cyfr jest równa 3?
12. Ile jest liczb n-cyfrowych, których suma cyfr jest równa 3?
13. Iloma sposobami można ustawić w koło n osób?
14. Rozwiąż równanie 12 * {n \choose 1} + {n + 4 \choose 2} = 162.
15. Bez rozwijania potęgi (3+2 x ^{2} ) ^{9} wyznacz siódmy wyraz rozwinięcia.
16. Ile jest liczb naturalnych podzielnych niepodzielnych przez 2,3 i 5 w przedziale: (0;901), (0;1001), (16;1219)? Odp. A)240, B)266, C)321.
17. Ile liczb naturalnych nie większych niż 1000 nie dzieli się przez żadną z liczb 2,3,5,7?
18. Niech P={1,2,3,4,5,6,7,8,9} oraz Q={A,B,C,D}. Ile jest numerów rejestracyjnych składających się z trzech cyfr i dwóch liter zakładając, że zarówno litery jak i cyfry mogą się powtarzać.
19. Z talii 52 kart losujemy 6 kart. Na ile sposobów wśród tych 6 kart może znaleźć się trójka (trzy karty tej samej "wartości", różnych kolorów)?
20. Wiedząc, że człowiek ma na głowie nie więcej niż 500 tysięcy włosów, wykaż, że w mieście liczącym 700 tysięcy mieszkańców, są co najmniej dwie osoby o takiej samej liczbie włosów na głowie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2008, o 11:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4819
Lokalizacja: Gdańsk
Zadanie 14.

n\in N_+
12 \cdot {n \choose 1} + {n + 4 \choose 2} = 162
12n + \frac{(n+3)(n+4)}{2} = 162
24n+n^2+7n+12=324
n^2+31n-312=0
(n-8)(n+39)=0
n=8
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 14:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 91
Lokalizacja: Wrocław
z9
zakładam że tworząc jedenastke nie jest istotne na jakiej pozycji gra jaki zawodnik tylko ważny jest że gra z 10 konkretnymi innymi zawodnikami.
\frac{33!}{11!^33!}
a jeżeli ważne są też pozycje graczy no to będzie \frac{33!}{3!}
z11
na pierwszym miejscu musi być liczba większa od 0

(x_1+1)+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=2

kombinacja z powtórzeniami {{6+2-1} \choose 2}=21

z10
jak wyżej {(n+1-1) \choose 1}=n
z12
{{n+2-1} \choose 2}= {{n+1} \choose 2}
z13
jak stoją w szeregu to n! a jak polaczysz koniec z poczatkiem to musisz podzielic przez n czyli ilosc powtórzen danej permutacji
(n-1)!
z15.
Jest taki wzór:
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}
z18.
9^3 \cdot 4^2
z20.
http://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=4069
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Kraków
zad. 7

To też jest z zasady szufladkowej Dirichleta. Ponieważ jednak trudno mi to jakoś "odwzorować" to zrobię opisowo.

Wybierasz 101 liczb, czyli więcej niż połowę. Jeżeli chcesz wybrać połowę, to, żeby nie stały obok siebie, wybierasz co drugą. To krok pierwszy. Wybrałeś te 100 z 200. I masz taki ciąg wybrana, niewybrana, wybrana, niewybrana... I musisz teraz wybrać jeszcze jedną, żeby było 101, czyli siłą rzeczy zapełniasz tę "dziurę", gdzie jest niewybrana, czyli w pewnym miejscu zostały wybrane trzy kolejne. CKD

zad 19

Zawsze są 4 karty tej samej wartości, a tych wartości jest 2,3,4,5,6,7,8,9,10, walety, damy, króle, asy = 13.
Najpierw losujemy wartość czyli C 1 z 13, potem trzy z czterech tej wartości C 3 z 4, następnie pozostałe 3 karty z tych, które nie są daną wartością: C 3 z 48
Podsumowując:

C 1 z 13 * C 4 z 4 * C 3 z 48

zad 4


Liczby całkowite niepodzielne przez 5 są postaci: 5k +1, 5k +2, 5k +3, 5k +4, 5k + 6 ...itd... /k e C)
Niech zostanie tych pięć początkowych.

To weźmy sobie dwie np. 5k + 6 - (5k +1) = 5
dalaj analogicznie CKD


PS Przepraszam, że nie używam Letexu, ale nie umiem. Ale się uczę ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 15:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 91
Lokalizacja: Wrocław
Madame w zadaniu 19. wtedy liczysz podwójnie możliwości jak są dwie trójki i nie liczysz możliwości że będą 4 karty o tej samej wartości
13 \cdot  {48 \choose 2} jedna czwórka i dwie jakies inne karty
\frac{13 \cdot  {4 \choose 3} \cdot 12 \cdot  {4 \choose 3} }{2!} tyle jest możliwości ze będą 2 trójki wylosowane ostatecznie:

13 \cdot  {4 \choose 3} \cdot {48 \choose 3}+ 13 \cdot  {48 \choose 2}- \frac{13 \cdot  {4 \choose 3} \cdot 12 \cdot  {4 \choose 3} }{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 15:45 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Kraków
A możesz napisać jeszcze raz, co masz na myśli, ale w postaci kombinacji, bez symbolu Newtona? Bo myślę, że masz rację.


A...już sobie rozpisałam na C i widzę co masz na myśli, ale czy w zadaniu nie ma założenia, że trójka może być tylko jedna i żadnych czwórek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 15:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 91
Lokalizacja: Wrocław
jeżeli jest, to Twój wzór tez nie spełnia zadania bo generuje podwójnie kombinacje że są dwie trójki ;> ale jak dla mnie nie ma takiego założenia ;]
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Kraków
Myślę, że masz rację.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 16:03 
Gość Specjalny

Posty: 2232
Lokalizacja: Warszawa
1)Dirichlet
2)Dirichlet
3)Dirichlet
...
7)Dirichlet :wink:
Jak będziesz miał kłopoty ze zrobieniem ich z Dirichleta to pisz :wink:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Kraków
kinwotar napisał(a):
z9
zakładam że tworząc jedenastke nie jest istotne na jakiej pozycji gra jaki zawodnik tylko ważny jest że gra z 10 konkretnymi innymi zawodnikami.
\frac{33!}{11!^33!}


To jeszcze pytanie: dlaczego wychodzi Ci, że w mianowniku, gdzie jest (11!) jest jeszcze 3!?

Mnie wychodzi tak:
Wybieram pierwsza jedenastkę: C 11 z 33, wybieram drugą C 11 z 22, do ostatniej siłą rzeczy zostaje 11 gości, czyli:

C 11 z 33 * C 11 z 22 * 1 = 33!/ (11!)^3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 16:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 91
Lokalizacja: Wrocław
bo nie istotna jest kolejnosc 3 grup. powiedzmy ze kazdy zawodnik ma nr czyli są numery od 1 do 33. w pierwszym wyborze wybrałbym np pierwszych 11 potem od 12 do 22.
potem znowu iles razy wybieram zawodnikow i wreszcie w pierwszym wyborze wybieram od 12 do 22 a w drugim np od 1 do 11. powstaje taka sama opcja.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Kraków
ale żaden z zawodników nie ma numeru, mamy tylko ich liczbę.
Kombinacja z definicji wyklucza kolejność, jest tylko ilość.

Chyba przesadziłeś z tym 3!. Nie wiem, ale wydaje mi się, że jak już stosujesz kombinację, a nie wariację, to przecież od razu zakładasz, że kolejność 3 grup jest nieważna.

Pozdrawiam
Magdalena
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 18:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 91
Lokalizacja: Wrocław
ale kombinacje stosujesz tylko do wyboru zawodnikow, jak wymnazasz jedna kombinacje przez druga to uwzgledniasz jednoczesnie kolejnosc. nie chodzi o kolejnosc zawodnikow w druzynie tylko o kolejnosc druzyn. przykladowo masz 3 zawodnikow i masz ich podzielic na 3 druzyny jednoosobowe, zgodnie z twoim schematem to jest: {3 \choose 1} {2 \choose 1}=6 a istnieje tylko jeden taki podzial.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 sty 2008, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 80
Lokalizacja: Kraków
Nie chodzi o kolejność grup tylko o ich rozróżnialność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2008, o 14:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 91
Lokalizacja: Wrocław
żal... zapraszam do przestudiowania jakiejś mądrej książki i dalszą dyskusje uważam za bezcelową.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 23 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 parę zadań typu "ile jest liczb...."  matifcb  1
 Zestaw zadań ze wzorem Newtona  Delkadi  6
 Kilka zadań z cyklu na ile sposobów  bartex9  1
 Kilka zadan z Kombinatoryki - zadanie 5  Krisinho  5
 Zbiór zadań - KOMBINATORYKA  Arek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl