Witam! Bardzo proszę o pomoc z tymi zadaniami, z góry dzięki

1. Wykaż, że wśród

liczb całkowitych zawsze można znaleźć dwie, których różnica jest podzielna przez

.
2. Spośród liczb

wybrano

liczb. Wykaż, że wśród wybranych liczb istnieją dwie takie, że jedna dzieli drugą.
3. Wykaż, że dla dowolnej liczby

istnieje liczba zapisana tylko przy pomocy zer i jedynek, która dzieli się przez

.
4. Uzasadnij, że spośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez

zawsze można wybrać dwie, których różnica dzieli się przez

.
5. Na odcinku
![[0,1] [0,1]](/latexrender/pictures/c/c/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
leży dziewięć różnych punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów, są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż

.
6. W kwadracie o boku długości

leży pięć punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów, są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż

.
7. Spośród liczb:

wybrano

liczb. Dowieść, że wśród wybranych liczb są dwie kolejne liczby.
8. Dany jest zbiór liczb naturalnych

. Ile jest wśród nich liczb, które są podzielne przez

lub przez

lub przez

.
9. Na ile sposobów można utworzyć

jedenastki piłkarskie spośród

zawodników?
10. Ile jest

liczb, których suma cyfr równa jest

?
11. Ile jest

liczb, których suma cyfr jest równa

?
12. Ile jest liczb

, których suma cyfr jest równa

?
13. Iloma sposobami można ustawić w koło

osób?
14. Rozwiąż równanie

.
15. Bez rozwijania potęgi

wyznacz siódmy wyraz rozwinięcia.
16. Ile jest liczb naturalnych podzielnych niepodzielnych przez

w przedziale:

? Odp.

.
17. Ile liczb naturalnych nie większych niż

nie dzieli się przez żadną z liczb

?
18. Niech

oraz

. Ile jest numerów rejestracyjnych składających się z trzech cyfr i dwóch liter zakładając, że zarówno litery jak i cyfry mogą się powtarzać.
19. Z talii

kart losujemy

kart. Na ile sposobów wśród tych

kart może znaleźć się trójka (trzy karty tej samej "wartości", różnych kolorów)?
20. Wiedząc, że człowiek ma na głowie nie więcej niż

tysięcy włosów, wykaż, że w mieście liczącym

tysięcy mieszkańców, są co najmniej dwie osoby o takiej samej liczbie włosów na głowie.