szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2008, o 18:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 118
Lokalizacja: Lubień
Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większa od 5, to liczba p ^{4} [ \ ] 1 jest podzielna przez 240.

[] Kwadrat na wpisanie jakiejś liczby, czy coś ;P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2008, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 468
Lokalizacja: inąd
Tam jest "-", znam to zadanie :)


zrobisz albo z modullo - choć to zajmuje czas, albo - rozwiązanie szybsze
z "końcówek" - liczba może się kończyć tylko na 1,3,7,9 wiemy, że jest podzielna przez 10
teraz podzielność przez 24
p^{4}-1=(p^{2}+1)(p^{2}-1)=(p^{2}+1)(p+1)(p-1)
p jest pierwsza, czyli niepodzielna przez 3, czyli jedna z liczb (p+1)(p-1) jest podzielna przez 3, wiec caly iloczyn rowniez
p jest nieparzysta, wiec kazda z liczb(p^{2}+1)(p+1)(p-1) jest podzielna przez 2, zatem całość przez 8.

3*8*10=240
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2008, o 21:02 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ja bym jednak proponował jakiś bardziej formalny zapis w modulo. snm, trochę ułatwiłeś sobie dowód, ponieważ nie będzie prawdziwa równoważność
((10|a)\wedge (8|a))\iff (80|a). Zauważ, że dwójka w podzielności przez 10 może się powtarzać z tą dwójką w podzielności przez 8. Jesteś blisko dowodu, trzeba jeszcze tylko trochę dopracować :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2008, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 468
Lokalizacja: inąd
To może tak. Chcę unikać modullo. Liczba kończy się na 0, więc jest podzielna przez 5. W danym iloczynie poza tym, że jest on podzielny przez 3 i 8 (3 liczby parzyste) zauważamy, że jeden ze składników iloczynu(p+1)(p-1) musi być podzielny przez 4, bo są to kolejne liczby parzyste. Zatem liczba jest podzielna nie tylko przez 8, ale nawet przez 16(2*2*4=16). Zatem całość jest podzielna przez 16*3*5=240. I tak oto pozbyliśmy się powtarzającej sie 2.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl