szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 maja 2005, o 10:30 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - FUNKCJA LINIOWA I KWADRATOWA

(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek z rozwiązaniem)

Aktualizacja: 07.09.2011



1. Wyznacz wartość p i q tak, aby p i q były pierwiastkami równania x^2+px+q=0.

2. Znajdź pierwiastki równania za pomocą wzorów Viete’a: 0 = x^2 - 5x + 6.

3. Oblicz sumę odwrotności pierwiastków równania x^2 + nx + m = 0.

4. Napisać równanie paraboli otrzymanej przez przesuniecie paraboli y=x^2 o wektor [-1,2].

5. Wiedząc, że miejscami zerowymi paraboli y=2x^2+bx+c są liczby: 0 oraz 2, napisać jej równanie.

6. Oblicz deltę w równaniu: (m^2 - 4)x^2 + (m + 3)x - \frac{1}{2-m} = 0.

7. Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków jest równa 8, suma odwrotności jego pierwiastków jest równa \frac{2}{3} i dla x=0 przyjmuje on wartość 24.

8. Dla jakich wartości parametru k równanie 3x^2+kx+3=0 ma dwa różne pierwiastki?

9. Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c. Wykazać, że jeżeli f(1)=0, f(2)=1 oraz f(3)=4, to f(n)=(n-1)^2.

10. Liczby x_1, x_2 są pierwiastkami równania: x^2+px+q=0. Napisać równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby x_1 +  x_2 oraz x_1\cdot x_2.

11. Rozwiąż równanie: x^2 + 4x + 4 = 1.

12. Określ znak współczynnika c trójmianu ax^2+bx+c jeśli wiesz, że a+b+c^2+2ax+b^2 i x^2+2bx+c^2 ma dwa pierwiastki rzeczywiste, to trójmian x^2+2cx+a^2 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

13. Wyprowadzić wzór na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego.

14. Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres przechodzi przez punkty (1,-7) i (-1,-27), a wartością największą jest liczba 9.

15. Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji g(x)=\left|x^2 + m\right| w przedziale . Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.

16. Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji g(x)=x^2 - (m^2 - 4) w przedziale . Podaj wzór funkcji f oraz sporządź jej wykres.

17. Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania: \left( x^{2} - 1 - m \right)  \left(  |x| -1-m \right)  = 0. Sporządź wykres funkcji f.

18. Udowodnić, że jeżeli a,b,c są długościami boków dowolnego trójkąta, to równanie b^{2}x^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})x+c^{2} = 0 nie ma pierwiastków.

19. Wyznacz wszystkie wartości całkowite a, dla których równanie x^2+ax+a=0 ma pierwiastek całkowity.

20. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania 5x^{2}-5(m-1)x+6m=0 są odpowiednio sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego?

21. Odgłos upadającego na dno studni kamienia usłyszano w 4\text{s} od chwili swobodnego puszczenia go. Oblicz głębokość tej studni, przyjmując prędkość głosu 330 \frac{\text{m}}{\text{s}} i przyspieszenie ziemskie 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

22. Suma liczb wierzchołków dwóch wielokątów wypukłych wynosi 21. Jeden z tych wielokątów ma dwa razy więcej przekątnych niż drugi. Ile wierzchołków ma każdy z tych wielokątów?

23. Przednie koło wozu wykonuje na drodze o długości 14 km o 3000 obrotów więcej niż tylne. Jeżeli obwody tych kół powiększymy o pól metra , to na tej samej drodze przednie koło wykona o 2100 obrotów więcej niż tylne. Wyznacz obwód każdego z tych kół.

24. Dla jakich wartości parametru a prosta o równaniu x-y+a=0 będzie rozłączna z kołem o środku S=(-1,0) i promieniu r=\sqrt{2}?

25. Wyznacz współczynniki a, b funkcji kwadratowej, jeżeli wiesz, że f(x)=ax^2 + bx + 2 osiąga maksimum w punkcie (3,11).

26. Dla jakich wartości m funkcja y=(8-2m)x-1 jest rosnąca?

27. Jaką figurą na plaszczyźnie jest zbiór wierzchołków parabol o równaniach y = x^2 + ax + a?

28. Dla jakich wartosci parametru m pierwiastki równania (2m+1)x^2 -(m+3)x + 2m+1 = 0 spełniają warunek \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > 1?

29. Z miast A i B wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie pociągi jadące ze stała predkoscią. Jeden z nich jedzie z prędkoscia dwukrotnie wieksza niz drugi. Spotykaja się po godzinie i 20 minutach. Gdyby wolniejszy pociąg jechał z prędkoscią o 10 km/h większą, to spotkanie nastapiłoby po godzinie i 12 minutach. Jaka jest odległość z A do B?

30. Wyznaczyć sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego (które takowe posiada).

31. Własciciel kina stwierdził, że przy cenie biletu wynoszącej 10 zł, na seans przychodzi srednio 100 osób, a podniesienie ceny biletu o kazdą złotówkę powoduje, że liczba widzów zmniejsza sie o 5. Jaką cenę biletu nalezy ustalić, aby dochód kina był największy?

32. Dane jest równanie paraboli:
y=mx^2 + 2(m-1)x + m^2.
a) Dla jakich wartościu parametru m wierzchołek paraboli ma rzędną zawartą w przedziale (1,5)
b) Dla wartości m=1 napisz równanie stycznych do tej paraboli przechodzących przez punkt \left( 0, \frac{3}{4} \right).

33. Wyznaczyć odciętą wierzcholka paraboli funkcji Z(t) = - \frac{1}{84} t^2 +  \frac{1}{14} t + 24.

34. Obliczyć miejsce zerowe funkcji f(x)= \begin{cases} 4-x^2 \ \text{dla} \ x \le 1 \\ -2x+5 \ \text{dla} \ x>1 \end{cases}.

35. Jak narysować wykres funkcji y = \sqrt{|x^2 - 6x + 8|}?

36. Obliczyć zależność pomiędzy parametrami p i q aby pierwiastki równania x^2+px+q=0 były sinusem i cosinusem tego samego kąta.

37. Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x}, z których każda razem z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu 1.

38. Wykonaj wykres funkcji f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} określonej wzorem f(x)=-4x+3 i g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, takiej że f(x) + g(y) = x^2 + xy + y^2 dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y.

39. Obwód prostokąta jest równy 80. Budujemy kwadrat o boku długości przekątnej prostokąta . Dla jakich długości boków prostokąta kwadrat ma najmniejsze pole?

40. Współczynniki funkcji kwadratowej f(x)=-x^2+bx+c tworzą w kolejności -1,b,c ciąg geometryczny. Wyznacz wartości współczynników b i c jeżeli wiadomo że osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta x=1. Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.

41. Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe : x_1=0 i x_2=12. Swoje maksimum funkcja przyjmuje w punkcie P=(6,4). Jej ramiona skierowane są w dół. Znajdź wzór tej funkcji.

42. W prostokącie ABCD o długościach boków: AB=10cm, AD=8cm obrano dwa punkty wewnętrzne M i N, takie że MN prostopadłe do AB i AM=MD=NC=NB. Wyznacz odległość punktów M i N tak, aby suma kwadratów długości odcinków AM, DM, NM, NB, NC była jak najmniejsza.

43. Rozwiązać równanie y = \sqrt{|x-1| - 2}.

44. Dana jest funkcja f(x)=x^2+bx+4. Wyznacz wspolczynnik b, wiedząc że moduł różnicy miejsc zerowych tej funkcji jest równy 3.

45. Prosta k przecina proste o równaniach y=4 i x=3 odpowiednio w punktach P i R. Wyznacz równanie prostej k, wiedząc że punkt S =(1,2) jest środkiem odcinka PR.

46. Z drutu o długości 100 zrobiono szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Przy jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej ma wartość największą?

47. Dana jest funkcja y =\sqrt{x} oraz punkt A=(2,0). Oblicz najmniejszą odległość punktu A od wykresu.

48. Dla jakich wartości parametru m funkcja 2m^2 - 5m - 3 osiąga minimum?

49. Wyznacz parametr m, aby iloczyn pierwiastków równania x^2 +  \left( 2-3m \right) x+ \left( 2m^2 - 5m-3 \right)  = 0 był jak najmniejszy.

50. Dla jakich wartości parametru m, równanie x^2- 2mx +m^2-1=0 ma dwa rozwiązania w przedziale \left<-2,4\right>.

51. Dla jakich wartości parametru m, suma kwadratów pierwiastków równania x^2 - (m-5)x + m^2 - 6m + 5 = 0 jest większa od 7?

52. Dla jakich wartości parametru m, rozwiązania x_{1} , \ x_{2} spełniają warunek x \in  \left( x_{1};x_{2} \right), jeżeli równanie ma postać x^2 - 4mx +3m^2 = 0.

53. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów rozwiązań równania x^2 +mx+4=0 jest dwa razy wieksza od sumy tych rozwiązań?

54. Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych równania x^2-mx+m-1=0 jest najmniejsza.

55. Dla jakich wartości parametru a równanie x^2-2(a-2)x-4a=0 ma:
1) rozwiązania rzeczywiste
2) rozwiązania są znaków przeciwnych
3) oba rozwiązania są liczbami dodatnimi?

56. Dana jest funkcja f(x)=x^3 - 3x^2 - 9x + 27. Dla jakich wartości parametru m równanie f(x)=m (x^2 - 9) ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe?

57. Znajdź zbiór punktów przecięcia stycznych do funkcji x^2, jesli te styczne są do siebie prostopadłe.

58. Dana jest funkcja f(x)= x^{2} + (5-3k)x + k^{2} - 4k + 3, gdzie x\in \mathbb{R}. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie f(x)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_{1}, x_{2} spełniające warunek x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 7x_{1}x_{2}.

59. Korzystając ze wzorów Vieta'a, uzasadnij, że jeżeli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, to pierwsza współrzędna wierzchołka jest ich średnią arytmetyczną.

60. Dane sa funkcje f i g okreslone wzorami: f(x)=2x^{2}+bx+c, \ g(x)=2x + m, gdzie x\in \mathbb{R}. Wyznacz wartości współczynnikow b i c wiedzac, ze miejscami zerowymi funkcji f jest -2 oraz 3.

61. Mamy 2 funkcje: f(x)=-2x^2+2x+6 oraz prosta k: g(x)=2x+2. Opisać układem nierówności figurę G ograniczoną przez parabolę i prostą k.

62. Funkcja y=2^{\sin x} jest:
a) monotoniczna
b) okresowa
c) ograniczona

63. Dana jest funkcja f(x) = 2x^2 - 8x + c, gdzie x \in \mathbb{R}. Wyznacz wartosc współczynnik c wiedząc, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział \left<4,+\infty\right).

64. Dla jakiego parametru m funkcja o wzorze f(x) = (m-2)^2x + 6 jest parzysta.?

65. Okresem podstawowym funkcji \tg(2x) jest:
a) \pi
b) \frac{\pi}{2}
c) 2\pi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2009, o 09:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
Czy ktoś mógłby poprawić zapis w zadaniach 2, 44, 46? 39 też by się przydało. Zadania 72 i 75 to tak dla zmyłki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2009, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 21
w rozwiązaniu zadania 32 jest błąd:
powinno być y= -\frac{a ^{2}-4a }{4} zamiast y= \frac{a ^{2}-4a }{4}
w ostatnim poście zad. 40 dziedzina jest źle wyliczona - pod pierwiastkiem jest moduł, więc x jest dowolną liczbą rzeczywistą
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Określ zbiór rozwiązań nierównościw zależności od  Anonymous  1
 Określ zbiór rozwiązań  Anonymous  5
 Funkcja kwadratowa z parametrem.  Anonymous  1
 nierównośc kwadratowa  Anonymous  5
 Funkcja kwadratowa-wyznaczyć wzór.  apacz  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl