szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Wałbrzych
Liczba naturalna n w dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a w dzieleniu przez 4 - resztę 3. Jaką otrzyma się resztę w dzieleniu liczby n przez 12?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Nidzica
n=3a+2
n=4b+3
3a-4b=1
zatem
a=3
b=2
Ta liczba to 11, reszta z dzielenia wynosi więc 11.
edit:Przepraszam bardzo za wprowadzenie w błąd..[/tex]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 3393
the doctor napisał(a):
Zatem ta liczba to -1, więc reszta z dzielenia przez 12 wynosi własnie -1

z tego co mi się wydaje to istnieje więcej niż jedna liczba spełniająca podane warunki :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Wałbrzych
the doctor napisał(a):
n=3a+2
n=4a+3

nie możesz tak tego zapisać bo jeżeli liczbę n podzielimy przez 3 i wyjdzie nam a, to w przypadku podzielenia jej przez 4 będzie to już inna liczba niż a. A wynik zadania ma być równy 11

[ Dodano: 27 Stycznia 2008, 21:31 ]
Napisałem Ci gdzie tkwi Twój błąd. Przykładowo:

27 = 3 * 7 + 6
oraz
27 = 4 * 6 + 3

W twoim zapisie w dwóch linijkach użyłeś zmiennej a. Czyli z twojego zapisu wynikałoby, że 7 = 6 (biorąc pod uwagę powyższy przykład)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Nidzica
tak tak wiem gdize błąd zaraz poprawie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Wałbrzych
the doctor napisał(a):
Zarówno a jak i b są jednocyfrowe


Skąd ten wniosek?

Jeżeli przykładowo n byłoby równe 38, to:
n=3a+2
38=3a+2
a=12

Jak widać a wcale nie musi być jednocyfrowe...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: pl
n  \equiv 2 (mod 3)  \Rightarrow 4n \equiv 8 (mod 12) \\
n  \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow 3n \equiv 9 (mod 12) \\
4n - 3n \equiv 8 - 9 (mod 12) \\
n \equiv -1 \equiv 11 (mod 12)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Nidzica
To było we wcześniejszej wersji posta :)
równanie 3a-4b=1 spełniają liczby 3 i 2 :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Wałbrzych
Mikel dzięki za odpowiedź tylko czy mógłbyś mi w skrócie wyjaśnić co znaczy ten znak "równa się" złożony z trzech kresek i co znaczy zapis X(modY) ? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
:doctor 7 i 5 również tak samo jak np. 43 i 32. Tych liczb jest nieskończenie wiele :P
:kajtek przedstawię ci to w bardziej zrouzumiałej formie:
n=3a+2=4b+3
3a-1=4b
\frac{3a-1}{4}=b, toteż 3a musi zwracać 1 przydzieleniu przez 4, czyli a=4l+3
n=3a+2=3(4l+3)+2=12l+11,czyli n przy dzieleniu przez 12 daje resztę 11. co zapisujemy:n\equiv 11mod(12)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Wałbrzych
the doctor napisał(a):
To było we wcześniejszej wersji posta :)
równanie 3a-4b=1 spełniają liczby 3 i 2 :P

Spełniają je również liczby 7 i 5...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Nidzica
No to ja się poddaje :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 29
Lokalizacja: pl
kajtek182 napisał(a):
Mikel dzięki za odpowiedź tylko czy mógłbyś mi w skrócie wyjaśnić co znaczy ten znak "równa się" złożony z trzech kresek i co znaczy zapis X(modY) ? :P


n  \equiv 2 (mod 3)
takie coś oznacza, że n przystaje do 2 modulo 3, mówiąc jaśniej liczba n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Kongruencje można mnożyć co wykorzystałem w pierwszych dwóch linijkach aby otrzymać (mod 12), oraz odejmować liczby przystające do takiego samego modułu (3 linijka), oby ostatecznie otrzymać n przystające do 11 modulo 12, czyli resztą z dzielenia liczby n przez 12 będzie liczba 11.

gdybyś czegoś jednak nie zrozumiał poczytaj to: www mimuw.edu.pl/~kolkomat/materialy/kongruencje.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 1420
Lokalizacja: Polska
nazwijmy nasze n jako W(x)
W(3)=2 i W(4)=3
ogólną postać W(x) przedstawmy tak:
W(x)=(x-3)(x-4)*Q(x)+ax+b wielomian Q(x) nas zupełnie nie obchodzi, ale musi formalnie być
wiemy że W(3)=2 i W(4)=3 wiec mamy:
3a+b=2 oraz 4a+b=3 odejmujjąc stronami wychodzi nam: -a=-1 =>a=1 wstawiając otrzymujemy b=-1, wiec W(x) prezętuje się już tak:
W(x)=(x-3)(x-4)*Q(x)+x-1
W(12)=(12-3)(12-4)*Q(x)+12-1 wiemy, że (12-3)(12-4)*Q(12) jest całkowite, ponieważ jest iloczynem liczb całkowitych, wiec szukana reszta to 12-1 czyli 11 ;)

P.S. wydaje mi się, że tak można to zrobić
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2008, o 22:11 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Wałbrzych
Dzięki wszystkim za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz resztę z dzielenia - zadanie 14  k0cic4  3
 Które liczby przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2.  apacz  1
 oblicz reszte z dzielenia przez 4...  PiroBoss  5
 Kwadrat dowolnej liczby daje resztę 1 lub dzeli się przez 9  elsmd  5
 Matura 2014 - wykaż resztę z dzielenia  AndrzejK  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl